Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14574 / 9015
↖ ↑ ↗
← N 62.638820°
W 19.885254°		 ← 561.43 m → N 62.638820°
W 19.874268°		 →
↑
561.54 m
↓
↑
561.54 m
↓
N 62.633769°
W 19.885254°		 ← 561.53 m →
315 294 m²		 N 62.633769°
W 19.874268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444778442382812 y=0.275131225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444778442382812 × 215)
    floor (0.444778442382812 × 32768)
    floor (14574.5)     		tx = 14574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275131225585938 × 215)
    floor (0.275131225585938 × 32768)
    floor (9015.5)     		ty = 9015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14574 / 9015 ti = "15/14574/9015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14574/9015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14574 ÷ 215
    14574 ÷ 32768     		x = 0.44476318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9015 ÷ 215
    9015 ÷ 32768     		y = 0.275115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44476318359375 × 2 - 1) × π
    -0.1104736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34706315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275115966796875 × 2 - 1) × π
    0.44976806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.41298805320078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34706315} λ = -0.34706315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41298805320078))-π/2
    2×atan(4.10821264024358)-π/2
    2×1.33202498185858-π/2
    2.66404996371715-1.57079632675     		φ = 1.09325364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34706315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.885254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09325364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.638820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14574 KachelY 9015 -0.34706315 1.09325364 -19.885254 62.638820
    Oben rechts KachelX + 1 14575 KachelY 9015 -0.34687141 1.09325364 -19.874268 62.638820
    Unten links KachelX 14574 KachelY + 1 9016 -0.34706315 1.09316550 -19.885254 62.633769
    Unten rechts KachelX + 1 14575 KachelY + 1 9016 -0.34687141 1.09316550 -19.874268 62.633769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09325364-1.09316550) × R
    8.81399999999033e-05 × 6371000     		dl = 561.539939999384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09325364-1.09316550) × R
    8.81399999999033e-05 × 6371000     		dr = 561.539939999384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34706315--0.34687141) × cos(1.09325364) × R
    0.000191739999999996 × 0.459598159198189 × 6371000     		do = 561.433869505521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34706315--0.34687141) × cos(1.09316550) × R
    0.000191739999999996 × 0.459676436924847 × 6371000     		du = 561.529491661733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09325364)-sin(1.09316550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459598159198189-0.459676436924847)×R²
    abs(-0.34687141--0.34706315)×7.8277726658027e-05×R²
    0.000191739999999996×7.8277726658027e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.8277726658027e-05×40589641000000     		ar = 315294.3894304m²