Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14574 / 21617
↖ ↑ ↗
← S 49.731581°
W 19.885254°		 ← 789.59 m → S 49.731581°
W 19.874268°		 →
↑
789.56 m
↓
↑
789.56 m
↓
S 49.738682°
W 19.885254°		 ← 789.47 m →
623 381 m²		 S 49.738682°
W 19.874268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444778442382812 y=0.659713745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444778442382812 × 215)
    floor (0.444778442382812 × 32768)
    floor (14574.5)     		tx = 14574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659713745117188 × 215)
    floor (0.659713745117188 × 32768)
    floor (21617.5)     		ty = 21617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14574 / 21617 ti = "15/14574/21617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14574/21617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14574 ÷ 215
    14574 ÷ 32768     		x = 0.44476318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21617 ÷ 215
    21617 ÷ 32768     		y = 0.659698486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44476318359375 × 2 - 1) × π
    -0.1104736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34706315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659698486328125 × 2 - 1) × π
    -0.31939697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00341518284702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34706315} λ = -0.34706315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00341518284702))-π/2
    2×atan(0.36662520855011)-π/2
    2×0.351408248651086-π/2
    0.702816497302171-1.57079632675     		φ = -0.86797983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34706315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.885254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86797983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.731581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14574 KachelY 21617 -0.34706315 -0.86797983 -19.885254 -49.731581
    Oben rechts KachelX + 1 14575 KachelY 21617 -0.34687141 -0.86797983 -19.874268 -49.731581
    Unten links KachelX 14574 KachelY + 1 21618 -0.34706315 -0.86810376 -19.885254 -49.738682
    Unten rechts KachelX + 1 14575 KachelY + 1 21618 -0.34687141 -0.86810376 -19.874268 -49.738682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86797983--0.86810376) × R
    0.000123929999999994 × 6371000     		dl = 789.558029999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86797983--0.86810376) × R
    0.000123929999999994 × 6371000     		dr = 789.558029999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34706315--0.34687141) × cos(-0.86797983) × R
    0.000191739999999996 × 0.646369304782345 × 6371000     		do = 789.5889325289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34706315--0.34687141) × cos(-0.86810376) × R
    0.000191739999999996 × 0.646274738165481 × 6371000     		du = 789.473412262838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86797983)-sin(-0.86810376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646369304782345-0.646274738165481)×R²
    abs(-0.34687141--0.34706315)×9.45666168643555e-05×R²
    0.000191739999999996×9.45666168643555e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.45666168643555e-05×40589641000000     		ar = 623380.677898368m²