Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14574 / 10418
↖ ↑ ↗
← N 76.616358°
W 99.942627°		 ← 141.38 m → N 76.616358°
W 99.937134°		 →
↑
141.37 m
↓
↑
141.37 m
↓
N 76.615086°
W 99.942627°		 ← 141.39 m →
19 988 m²		 N 76.615086°
W 99.937134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222389221191406 y=0.158973693847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222389221191406 × 216)
    floor (0.222389221191406 × 65536)
    floor (14574.5)     		tx = 14574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158973693847656 × 216)
    floor (0.158973693847656 × 65536)
    floor (10418.5)     		ty = 10418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14574 / 10418 ti = "16/14574/10418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14574/10418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14574 ÷ 216
    14574 ÷ 65536     		x = 0.222381591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10418 ÷ 216
    10418 ÷ 65536     		y = 0.158966064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.55523681640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74432790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158966064453125 × 2 - 1) × π
    0.68206787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14277941301651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74432790} λ = -1.74432790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14277941301651))-π/2
    2×atan(8.52309393656058)-π/2
    2×1.45400201517133-π/2
    2.90800403034266-1.57079632675     		φ = 1.33720770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74432790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.942627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33720770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.616358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14574 KachelY 10418 -1.74432790 1.33720770 -99.942627 76.616358
    Oben rechts KachelX + 1 14575 KachelY 10418 -1.74423203 1.33720770 -99.937134 76.616358
    Unten links KachelX 14574 KachelY + 1 10419 -1.74432790 1.33718551 -99.942627 76.615086
    Unten rechts KachelX + 1 14575 KachelY + 1 10419 -1.74423203 1.33718551 -99.937134 76.615086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33720770-1.33718551) × R
    2.2189999999922e-05 × 6371000     		dl = 141.372489999503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33720770-1.33718551) × R
    2.2189999999922e-05 × 6371000     		dr = 141.372489999503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74432790--1.74423203) × cos(1.33720770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231470173376586 × 6371000     		do = 141.379151018195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74432790--1.74423203) × cos(1.33718551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231491760683598 × 6371000     		du = 141.392336281305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33720770)-sin(1.33718551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231470173376586-0.231491760683598)×R²
    abs(-1.74423203--1.74432790)×2.15873070120165e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.15873070120165e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.15873070120165e-05×40589641000000     		ar = 19988.0546312819m²