Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14573 / 7099
↖ ↑ ↗
← N 70.862689°
W 19.896240°		 ← 400.49 m → N 70.862689°
W 19.885254°		 →
↑
400.48 m
↓
↑
400.48 m
↓
N 70.859087°
W 19.896240°		 ← 400.57 m →
160 405 m²		 N 70.859087°
W 19.885254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444747924804688 y=0.216659545898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444747924804688 × 215)
    floor (0.444747924804688 × 32768)
    floor (14573.5)     		tx = 14573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216659545898438 × 215)
    floor (0.216659545898438 × 32768)
    floor (7099.5)     		ty = 7099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14573 / 7099 ti = "15/14573/7099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14573/7099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14573 ÷ 215
    14573 ÷ 32768     		x = 0.444732666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7099 ÷ 215
    7099 ÷ 32768     		y = 0.216644287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444732666015625 × 2 - 1) × π
    -0.11053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34725490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216644287109375 × 2 - 1) × π
    0.56671142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78037645188889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34725490} λ = -0.34725490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78037645188889))-π/2
    2×atan(5.93208914447131)-π/2
    2×1.40379178512247-π/2
    2.80758357024493-1.57079632675     		φ = 1.23678724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34725490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.896240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23678724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.862689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14573 KachelY 7099 -0.34725490 1.23678724 -19.896240 70.862689
    Oben rechts KachelX + 1 14574 KachelY 7099 -0.34706315 1.23678724 -19.885254 70.862689
    Unten links KachelX 14573 KachelY + 1 7100 -0.34725490 1.23672438 -19.896240 70.859087
    Unten rechts KachelX + 1 14574 KachelY + 1 7100 -0.34706315 1.23672438 -19.885254 70.859087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23678724-1.23672438) × R
    6.28599999998869e-05 × 6371000     		dl = 400.481059999279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23678724-1.23672438) × R
    6.28599999998869e-05 × 6371000     		dr = 400.481059999279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34725490--0.34706315) × cos(1.23678724) × R
    0.000191749999999991 × 0.327833179969515 × 6371000     		do = 400.493880103054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34725490--0.34706315) × cos(1.23672438) × R
    0.000191749999999991 × 0.327892565403332 × 6371000     		du = 400.566427679883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23678724)-sin(1.23672438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327833179969515-0.327892565403332)×R²
    abs(-0.34706315--0.34725490)×5.93854338168387e-05×R²
    0.000191749999999991×5.93854338168387e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.93854338168387e-05×40589641000000     		ar = 160404.740645555m²