Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14571 / 7098
↖ ↑ ↗
← N 70.866291°
W 19.918213°		 ← 400.42 m → N 70.866291°
W 19.907227°		 →
↑
400.48 m
↓
↑
400.48 m
↓
N 70.862689°
W 19.918213°		 ← 400.49 m →
160 376 m²		 N 70.862689°
W 19.907227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444686889648438 y=0.216629028320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444686889648438 × 215)
    floor (0.444686889648438 × 32768)
    floor (14571.5)     		tx = 14571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216629028320312 × 215)
    floor (0.216629028320312 × 32768)
    floor (7098.5)     		ty = 7098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14571 / 7098 ti = "15/14571/7098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14571/7098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14571 ÷ 215
    14571 ÷ 32768     		x = 0.444671630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7098 ÷ 215
    7098 ÷ 32768     		y = 0.21661376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444671630859375 × 2 - 1) × π
    -0.11065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34763840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21661376953125 × 2 - 1) × π
    0.5667724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78056819948737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34763840} λ = -0.34763840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78056819948737))-π/2
    2×atan(5.93322671737869)-π/2
    2×1.40382321288795-π/2
    2.80764642577589-1.57079632675     		φ = 1.23685010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34763840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.918213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23685010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.866291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14571 KachelY 7098 -0.34763840 1.23685010 -19.918213 70.866291
    Oben rechts KachelX + 1 14572 KachelY 7098 -0.34744665 1.23685010 -19.907227 70.866291
    Unten links KachelX 14571 KachelY + 1 7099 -0.34763840 1.23678724 -19.918213 70.862689
    Unten rechts KachelX + 1 14572 KachelY + 1 7099 -0.34744665 1.23678724 -19.907227 70.862689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23685010-1.23678724) × R
    6.28600000001089e-05 × 6371000     		dl = 400.481060000694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23685010-1.23678724) × R
    6.28600000001089e-05 × 6371000     		dr = 400.481060000694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34763840--0.34744665) × cos(1.23685010) × R
    0.000191749999999991 × 0.327773793240305 × 6371000     		do = 400.421330943721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34763840--0.34744665) × cos(1.23678724) × R
    0.000191749999999991 × 0.327833179969515 × 6371000     		du = 400.493880103054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23685010)-sin(1.23678724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327773793240305-0.327833179969515)×R²
    abs(-0.34744665--0.34763840)×5.93867292104089e-05×R²
    0.000191749999999991×5.93867292104089e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.93867292104089e-05×40589641000000     		ar = 160375.686397892m²