Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14570 / 21650
↖ ↑ ↗
← S 49.965356°
W 19.929199°		 ← 785.78 m → S 49.965356°
W 19.918213°		 →
↑
785.80 m
↓
↑
785.80 m
↓
S 49.972423°
W 19.929199°		 ← 785.66 m →
617 419 m²		 S 49.972423°
W 19.918213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444656372070312 y=0.660720825195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444656372070312 × 215)
    floor (0.444656372070312 × 32768)
    floor (14570.5)     		tx = 14570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660720825195312 × 215)
    floor (0.660720825195312 × 32768)
    floor (21650.5)     		ty = 21650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14570 / 21650 ti = "15/14570/21650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14570/21650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14570 ÷ 215
    14570 ÷ 32768     		x = 0.44464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21650 ÷ 215
    21650 ÷ 32768     		y = 0.66070556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.1107177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34783014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66070556640625 × 2 - 1) × π
    -0.3214111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00974285359686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34783014} λ = -0.34783014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00974285359686))-π/2
    2×atan(0.364312649214964)-π/2
    2×0.349368177127335-π/2
    0.69873635425467-1.57079632675     		φ = -0.87205997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34783014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.929199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87205997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.965356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14570 KachelY 21650 -0.34783014 -0.87205997 -19.929199 -49.965356
    Oben rechts KachelX + 1 14571 KachelY 21650 -0.34763840 -0.87205997 -19.918213 -49.965356
    Unten links KachelX 14570 KachelY + 1 21651 -0.34783014 -0.87218331 -19.929199 -49.972423
    Unten rechts KachelX + 1 14571 KachelY + 1 21651 -0.34763840 -0.87218331 -19.918213 -49.972423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87205997--0.87218331) × R
    0.000123340000000027 × 6371000     		dl = 785.799140000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87205997--0.87218331) × R
    0.000123340000000027 × 6371000     		dr = 785.799140000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34783014--0.34763840) × cos(-0.87205997) × R
    0.000191739999999996 × 0.643250685520518 × 6371000     		do = 785.779303520079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34783014--0.34763840) × cos(-0.87218331) × R
    0.000191739999999996 × 0.643156244661592 × 6371000     		du = 785.66393687684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87205997)-sin(-0.87218331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643250685520518-0.643156244661592)×R²
    abs(-0.34763840--0.34783014)×9.44408589250711e-05×R²
    0.000191739999999996×9.44408589250711e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.44408589250711e-05×40589641000000     		ar = 617419.374214769m²