Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1457 / 778
↖ ↑ ↗
← N 81.024916°
W115.971680°		 ← 762.32 m → N 81.024916°
W115.927734°		 →
↑
762.61 m
↓
↑
762.61 m
↓
N 81.018058°
W115.971680°		 ← 762.89 m →
581 570 m²		 N 81.018058°
W115.927734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.17791748046875 y=0.09503173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.17791748046875 × 213)
    floor (0.17791748046875 × 8192)
    floor (1457.5)     		tx = 1457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09503173828125 × 213)
    floor (0.09503173828125 × 8192)
    floor (778.5)     		ty = 778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1457 / 778 ti = "13/1457/778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1457/778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1457 ÷ 213
    1457 ÷ 8192     		x = 0.1778564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 778 ÷ 213
    778 ÷ 8192     		y = 0.094970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.644287109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.02408765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.094970703125 × 2 - 1) × π
    0.81005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54487412702954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.02408765} λ = -2.02408765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54487412702954))-π/2
    2×atan(12.7416241590407)-π/2
    2×1.49247394400712-π/2
    2.98494788801423-1.57079632675     		φ = 1.41415156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.02408765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.971680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41415156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.024916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1457 KachelY 778 -2.02408765 1.41415156 -115.971680 81.024916
    Oben rechts KachelX + 1 1458 KachelY 778 -2.02332066 1.41415156 -115.927734 81.024916
    Unten links KachelX 1457 KachelY + 1 779 -2.02408765 1.41403186 -115.971680 81.018058
    Unten rechts KachelX + 1 1458 KachelY + 1 779 -2.02332066 1.41403186 -115.927734 81.018058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41415156-1.41403186) × R
    0.000119700000000167 × 6371000     		dl = 762.608700001063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41415156-1.41403186) × R
    0.000119700000000167 × 6371000     		dr = 762.608700001063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.02408765--2.02332066) × cos(1.41415156) × R
    0.000766989999999801 × 0.156004938298302 × 6371000     		do = 762.317084201321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.02408765--2.02332066) × cos(1.41403186) × R
    0.000766989999999801 × 0.156123171606537 × 6371000     		du = 762.894830468664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41415156)-sin(1.41403186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156004938298302-0.156123171606537)×R²
    abs(-2.02332066--2.02408765)×0.000118233308234655×R²
    0.000766989999999801×0.000118233308234655×6371000²
    0.000766989999999801×0.000118233308234655×40589641000000     		ar = 581569.938429258m²