Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1457 / 2961
↖ ↑ ↗
← S 62.308794°
W 51.943360°		 ← 4 541.60 m → S 62.308794°
W 51.855468°		 →
↑
4 538.51 m
↓
↑
4 538.51 m
↓
S 62.349609°
W 51.943360°		 ← 4 535.43 m →
20 598 087 m²		 S 62.349609°
W 51.855468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3558349609375 y=0.7230224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3558349609375 × 212)
    floor (0.3558349609375 × 4096)
    floor (1457.5)     		tx = 1457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7230224609375 × 212)
    floor (0.7230224609375 × 4096)
    floor (2961.5)     		ty = 2961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1457 / 2961 ti = "12/1457/2961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1457/2961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1457 ÷ 212
    1457 ÷ 4096     		x = 0.355712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2961 ÷ 212
    2961 ÷ 4096     		y = 0.722900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.355712890625 × 2 - 1) × π
    -0.28857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.90658265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722900390625 × 2 - 1) × π
    -0.44580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40052445929956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90658265} λ = -0.90658265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40052445929956))-π/2
    2×atan(0.246467667778875)-π/2
    2×0.241651361979595-π/2
    0.483302723959189-1.57079632675     		φ = -1.08749360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90658265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.943360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08749360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.308794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1457 KachelY 2961 -0.90658265 -1.08749360 -51.943360 -62.308794
    Oben rechts KachelX + 1 1458 KachelY 2961 -0.90504866 -1.08749360 -51.855468 -62.308794
    Unten links KachelX 1457 KachelY + 1 2962 -0.90658265 -1.08820597 -51.943360 -62.349609
    Unten rechts KachelX + 1 1458 KachelY + 1 2962 -0.90504866 -1.08820597 -51.855468 -62.349609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08749360--1.08820597) × R
    0.000712370000000018 × 6371000     		dl = 4538.50927000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08749360--1.08820597) × R
    0.000712370000000018 × 6371000     		dr = 4538.50927000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90658265--0.90504866) × cos(-1.08749360) × R
    0.0015339900000001 × 0.464706153571727 × 6371000     		do = 4541.59660892924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90658265--0.90504866) × cos(-1.08820597) × R
    0.0015339900000001 × 0.464075257040907 × 6371000     		du = 4535.43082540575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08749360)-sin(-1.08820597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464706153571727-0.464075257040907)×R²
    abs(-0.90504866--0.90658265)×0.000630896530819713×R²
    0.0015339900000001×0.000630896530819713×6371000²
    0.0015339900000001×0.000630896530819713×40589641000000     		ar = 20598087.4484707m²