Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14569 / 9501
↖ ↑ ↗
← N 60.081284°
W 19.940185°		 ← 609.32 m → N 60.081284°
W 19.929199°		 →
↑
609.39 m
↓
↑
609.39 m
↓
N 60.075803°
W 19.940185°		 ← 609.42 m →
371 341 m²		 N 60.075803°
W 19.929199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444625854492188 y=0.289962768554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444625854492188 × 215)
    floor (0.444625854492188 × 32768)
    floor (14569.5)     		tx = 14569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289962768554688 × 215)
    floor (0.289962768554688 × 32768)
    floor (9501.5)     		ty = 9501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14569 / 9501 ti = "15/14569/9501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14569/9501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14569 ÷ 215
    14569 ÷ 32768     		x = 0.444610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9501 ÷ 215
    9501 ÷ 32768     		y = 0.289947509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.11077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34802189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289947509765625 × 2 - 1) × π
    0.42010498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31979872033939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34802189} λ = -0.34802189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31979872033939))-π/2
    2×atan(3.74266797850098)-π/2
    2×1.30970627169413-π/2
    2.61941254338825-1.57079632675     		φ = 1.04861622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34802189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.940185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04861622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.081284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14569 KachelY 9501 -0.34802189 1.04861622 -19.940185 60.081284
    Oben rechts KachelX + 1 14570 KachelY 9501 -0.34783014 1.04861622 -19.929199 60.081284
    Unten links KachelX 14569 KachelY + 1 9502 -0.34802189 1.04852057 -19.940185 60.075803
    Unten rechts KachelX + 1 14570 KachelY + 1 9502 -0.34783014 1.04852057 -19.929199 60.075803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04861622-1.04852057) × R
    9.56500000000027e-05 × 6371000     		dl = 609.386150000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04861622-1.04852057) × R
    9.56500000000027e-05 × 6371000     		dr = 609.386150000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34802189--0.34783014) × cos(1.04861622) × R
    0.000191749999999991 × 0.498770894033607 × 6371000     		do = 609.318100909015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34802189--0.34783014) × cos(1.04852057) × R
    0.000191749999999991 × 0.498853794846199 × 6371000     		du = 609.419375795534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04861622)-sin(1.04852057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.498770894033607-0.498853794846199)×R²
    abs(-0.34783014--0.34802189)×8.29008125921571e-05×R²
    0.000191749999999991×8.29008125921571e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.29008125921571e-05×40589641000000     		ar = 371340.869678179m²