Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14569 / 21575
↖ ↑ ↗
← S 49.432413°
W 19.940185°		 ← 794.49 m → S 49.432413°
W 19.929199°		 →
↑
794.40 m
↓
↑
794.40 m
↓
S 49.439557°
W 19.940185°		 ← 794.37 m →
631 094 m²		 S 49.439557°
W 19.929199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444625854492188 y=0.658432006835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444625854492188 × 215)
    floor (0.444625854492188 × 32768)
    floor (14569.5)     		tx = 14569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658432006835938 × 215)
    floor (0.658432006835938 × 32768)
    floor (21575.5)     		ty = 21575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14569 / 21575 ti = "15/14569/21575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14569/21575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14569 ÷ 215
    14569 ÷ 32768     		x = 0.444610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21575 ÷ 215
    21575 ÷ 32768     		y = 0.658416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.11077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34802189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.31683349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.995361783710846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34802189} λ = -0.34802189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995361783710846))-π/2
    2×atan(0.369589708817467)-π/2
    2×0.354018985041898-π/2
    0.708037970083797-1.57079632675     		φ = -0.86275836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34802189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.940185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86275836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.432413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14569 KachelY 21575 -0.34802189 -0.86275836 -19.940185 -49.432413
    Oben rechts KachelX + 1 14570 KachelY 21575 -0.34783014 -0.86275836 -19.929199 -49.432413
    Unten links KachelX 14569 KachelY + 1 21576 -0.34802189 -0.86288305 -19.940185 -49.439557
    Unten rechts KachelX + 1 14570 KachelY + 1 21576 -0.34783014 -0.86288305 -19.929199 -49.439557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86275836--0.86288305) × R
    0.000124690000000038 × 6371000     		dl = 794.399990000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86275836--0.86288305) × R
    0.000124690000000038 × 6371000     		dr = 794.399990000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34802189--0.34783014) × cos(-0.86275836) × R
    0.000191749999999991 × 0.650344586153146 × 6371000     		do = 794.48647246965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34802189--0.34783014) × cos(-0.86288305) × R
    0.000191749999999991 × 0.650249861669064 × 6371000     		du = 794.37075332196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86275836)-sin(-0.86288305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650344586153146-0.650249861669064)×R²
    abs(-0.34783014--0.34802189)×9.47244840817651e-05×R²
    0.000191749999999991×9.47244840817651e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.47244840817651e-05×40589641000000     		ar = 631094.082957874m²