Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14568 / 9599
↖ ↑ ↗
← N 59.539888°
W 19.951172°		 ← 619.30 m → N 59.539888°
W 19.940185°		 →
↑
619.32 m
↓
↑
619.32 m
↓
N 59.534318°
W 19.951172°		 ← 619.40 m →
383 577 m²		 N 59.534318°
W 19.940185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444595336914062 y=0.292953491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444595336914062 × 215)
    floor (0.444595336914062 × 32768)
    floor (14568.5)     		tx = 14568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292953491210938 × 215)
    floor (0.292953491210938 × 32768)
    floor (9599.5)     		ty = 9599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14568 / 9599 ti = "15/14568/9599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14568/9599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14568 ÷ 215
    14568 ÷ 32768     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9599 ÷ 215
    9599 ÷ 32768     		y = 0.292938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292938232421875 × 2 - 1) × π
    0.41412353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30100745568832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30100745568832))-π/2
    2×atan(3.67299518415212)-π/2
    2×1.30498170303894-π/2
    2.60996340607788-1.57079632675     		φ = 1.03916708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03916708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.539888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14568 KachelY 9599 -0.34821364 1.03916708 -19.951172 59.539888
    Oben rechts KachelX + 1 14569 KachelY 9599 -0.34802189 1.03916708 -19.940185 59.539888
    Unten links KachelX 14568 KachelY + 1 9600 -0.34821364 1.03906987 -19.951172 59.534318
    Unten rechts KachelX + 1 14569 KachelY + 1 9600 -0.34802189 1.03906987 -19.940185 59.534318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03916708-1.03906987) × R
    9.72099999998477e-05 × 6371000     		dl = 619.32490999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03916708-1.03906987) × R
    9.72099999998477e-05 × 6371000     		dr = 619.32490999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34802189) × cos(1.03916708) × R
    0.000191749999999991 × 0.506938395282087 × 6371000     		do = 619.295841008582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34802189) × cos(1.03906987) × R
    0.000191749999999991 × 0.507022186184862 × 6371000     		du = 619.398203264204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03916708)-sin(1.03906987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506938395282087-0.507022186184862)×R²
    abs(-0.34802189--0.34821364)×8.37909027742167e-05×R²
    0.000191749999999991×8.37909027742167e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.37909027742167e-05×40589641000000     		ar = 383577.03904492m²