Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14567 / 9890
↖ ↑ ↗
← N 57.879817°
W 19.962158°		 ← 649.54 m → N 57.879817°
W 19.951172°		 →
↑
649.59 m
↓
↑
649.59 m
↓
N 57.873975°
W 19.962158°		 ← 649.65 m →
421 968 m²		 N 57.873975°
W 19.951172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444564819335938 y=0.301834106445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444564819335938 × 215)
    floor (0.444564819335938 × 32768)
    floor (14567.5)     		tx = 14567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301834106445312 × 215)
    floor (0.301834106445312 × 32768)
    floor (9890.5)     		ty = 9890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14567 / 9890 ti = "15/14567/9890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14567/9890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14567 ÷ 215
    14567 ÷ 32768     		x = 0.444549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9890 ÷ 215
    9890 ÷ 32768     		y = 0.30181884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444549560546875 × 2 - 1) × π
    -0.11090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34840539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30181884765625 × 2 - 1) × π
    0.3963623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24520890453058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34840539} λ = -0.34840539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24520890453058))-π/2
    2×atan(3.47366038693744)-π/2
    2×1.29049484718529-π/2
    2.58098969437057-1.57079632675     		φ = 1.01019337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34840539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.962158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01019337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.879817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14567 KachelY 9890 -0.34840539 1.01019337 -19.962158 57.879817
    Oben rechts KachelX + 1 14568 KachelY 9890 -0.34821364 1.01019337 -19.951172 57.879817
    Unten links KachelX 14567 KachelY + 1 9891 -0.34840539 1.01009141 -19.962158 57.873975
    Unten rechts KachelX + 1 14568 KachelY + 1 9891 -0.34821364 1.01009141 -19.951172 57.873975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01019337-1.01009141) × R
    0.000101960000000068 × 6371000     		dl = 649.58716000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01019337-1.01009141) × R
    0.000101960000000068 × 6371000     		dr = 649.58716000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34840539--0.34821364) × cos(1.01019337) × R
    0.000191749999999991 × 0.531696959557926 × 6371000     		do = 649.541874901592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34840539--0.34821364) × cos(1.01009141) × R
    0.000191749999999991 × 0.531783310253489 × 6371000     		du = 649.647364300558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01019337)-sin(1.01009141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531696959557926-0.531783310253489)×R²
    abs(-0.34821364--0.34840539)×8.63506955635085e-05×R²
    0.000191749999999991×8.63506955635085e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.63506955635085e-05×40589641000000     		ar = 421968.324463748m²