Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14567 / 7307
↖ ↑ ↗
← N 70.099269°
W 19.962158°		 ← 415.84 m → N 70.099269°
W 19.951172°		 →
↑
415.84 m
↓
↑
415.84 m
↓
N 70.095529°
W 19.962158°		 ← 415.91 m →
172 935 m²		 N 70.095529°
W 19.951172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444564819335938 y=0.223007202148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444564819335938 × 215)
    floor (0.444564819335938 × 32768)
    floor (14567.5)     		tx = 14567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223007202148438 × 215)
    floor (0.223007202148438 × 32768)
    floor (7307.5)     		ty = 7307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14567 / 7307 ti = "15/14567/7307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14567/7307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14567 ÷ 215
    14567 ÷ 32768     		x = 0.444549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7307 ÷ 215
    7307 ÷ 32768     		y = 0.222991943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444549560546875 × 2 - 1) × π
    -0.11090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34840539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222991943359375 × 2 - 1) × π
    0.55401611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.740492951405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34840539} λ = -0.34840539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.740492951405))-π/2
    2×atan(5.70015262846104)-π/2
    2×1.39712968576883-π/2
    2.79425937153766-1.57079632675     		φ = 1.22346304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34840539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.962158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22346304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.099269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14567 KachelY 7307 -0.34840539 1.22346304 -19.962158 70.099269
    Oben rechts KachelX + 1 14568 KachelY 7307 -0.34821364 1.22346304 -19.951172 70.099269
    Unten links KachelX 14567 KachelY + 1 7308 -0.34840539 1.22339777 -19.962158 70.095529
    Unten rechts KachelX + 1 14568 KachelY + 1 7308 -0.34821364 1.22339777 -19.951172 70.095529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22346304-1.22339777) × R
    6.52699999998951e-05 × 6371000     		dl = 415.835169999332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22346304-1.22339777) × R
    6.52699999998951e-05 × 6371000     		dr = 415.835169999332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34840539--0.34821364) × cos(1.22346304) × R
    0.000191749999999991 × 0.340391553572587 × 6371000     		do = 415.835682212729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34840539--0.34821364) × cos(1.22339777) × R
    0.000191749999999991 × 0.340452925169916 × 6371000     		du = 415.910656164862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22346304)-sin(1.22339777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340391553572587-0.340452925169916)×R²
    abs(-0.34821364--0.34840539)×6.13715973289408e-05×R²
    0.000191749999999991×6.13715973289408e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.13715973289408e-05×40589641000000     		ar = 172934.69006895m²