Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14567 / 21657
↖ ↑ ↗
← S 50.014799°
W 19.962158°		 ← 785.01 m → S 50.014799°
W 19.951172°		 →
↑
784.97 m
↓
↑
784.97 m
↓
S 50.021859°
W 19.962158°		 ← 784.90 m →
616 167 m²		 S 50.021859°
W 19.951172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444564819335938 y=0.660934448242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444564819335938 × 215)
    floor (0.444564819335938 × 32768)
    floor (14567.5)     		tx = 14567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660934448242188 × 215)
    floor (0.660934448242188 × 32768)
    floor (21657.5)     		ty = 21657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14567 / 21657 ti = "15/14567/21657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14567/21657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14567 ÷ 215
    14567 ÷ 32768     		x = 0.444549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21657 ÷ 215
    21657 ÷ 32768     		y = 0.660919189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444549560546875 × 2 - 1) × π
    -0.11090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34840539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660919189453125 × 2 - 1) × π
    -0.32183837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01108508678622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34840539} λ = -0.34840539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01108508678622))-π/2
    2×atan(0.363823984710107)-π/2
    2×0.348936702721239-π/2
    0.697873405442478-1.57079632675     		φ = -0.87292292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34840539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.962158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87292292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.014799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14567 KachelY 21657 -0.34840539 -0.87292292 -19.962158 -50.014799
    Oben rechts KachelX + 1 14568 KachelY 21657 -0.34821364 -0.87292292 -19.951172 -50.014799
    Unten links KachelX 14567 KachelY + 1 21658 -0.34840539 -0.87304613 -19.962158 -50.021859
    Unten rechts KachelX + 1 14568 KachelY + 1 21658 -0.34821364 -0.87304613 -19.951172 -50.021859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87292292--0.87304613) × R
    0.000123209999999929 × 6371000     		dl = 784.970909999549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87292292--0.87304613) × R
    0.000123209999999929 × 6371000     		dr = 784.970909999549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34840539--0.34821364) × cos(-0.87292292) × R
    0.000191749999999991 × 0.642589723561134 × 6371000     		do = 785.012827948893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34840539--0.34821364) × cos(-0.87304613) × R
    0.000191749999999991 × 0.64249531389487 × 6371000     		du = 784.897493395005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87292292)-sin(-0.87304613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642589723561134-0.64249531389487)×R²
    abs(-0.34821364--0.34840539)×9.44096662639504e-05×R²
    0.000191749999999991×9.44096662639504e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.44096662639504e-05×40589641000000     		ar = 616166.967560617m²