Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14566 / 9505
↖ ↑ ↗
← N 60.059358°
W 19.973144°		 ← 609.69 m → N 60.059358°
W 19.962158°		 →
↑
609.77 m
↓
↑
609.77 m
↓
N 60.053874°
W 19.973144°		 ← 609.79 m →
371 801 m²		 N 60.053874°
W 19.962158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444534301757812 y=0.290084838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444534301757812 × 215)
    floor (0.444534301757812 × 32768)
    floor (14566.5)     		tx = 14566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290084838867188 × 215)
    floor (0.290084838867188 × 32768)
    floor (9505.5)     		ty = 9505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14566 / 9505 ti = "15/14566/9505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14566/9505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14566 ÷ 215
    14566 ÷ 32768     		x = 0.44451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9505 ÷ 215
    9505 ÷ 32768     		y = 0.290069580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.1109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34859713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290069580078125 × 2 - 1) × π
    0.41986083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.31903172994547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34859713} λ = -0.34859713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31903172994547))-π/2
    2×atan(3.73979848869006)-π/2
    2×1.30951493186335-π/2
    2.61902986372669-1.57079632675     		φ = 1.04823354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34859713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.973144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04823354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.059358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14566 KachelY 9505 -0.34859713 1.04823354 -19.973144 60.059358
    Oben rechts KachelX + 1 14567 KachelY 9505 -0.34840539 1.04823354 -19.962158 60.059358
    Unten links KachelX 14566 KachelY + 1 9506 -0.34859713 1.04813783 -19.973144 60.053874
    Unten rechts KachelX + 1 14567 KachelY + 1 9506 -0.34840539 1.04813783 -19.962158 60.053874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04823354-1.04813783) × R
    9.57100000000821e-05 × 6371000     		dl = 609.768410000523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04823354-1.04813783) × R
    9.57100000000821e-05 × 6371000     		dr = 609.768410000523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34859713--0.34840539) × cos(1.04823354) × R
    0.000191739999999996 × 0.49910253922053 × 6371000     		do = 609.691453863677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34859713--0.34840539) × cos(1.04813783) × R
    0.000191739999999996 × 0.499185473758564 × 6371000     		du = 609.79276466676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04823354)-sin(1.04813783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.49910253922053-0.499185473758564)×R²
    abs(-0.34840539--0.34859713)×8.29345380341517e-05×R²
    0.000191739999999996×8.29345380341517e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.29345380341517e-05×40589641000000     		ar = 371801.476760696m²