Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14565 / 9596
↖ ↑ ↗
← N 59.556592°
W 19.984131°		 ← 618.99 m → N 59.556592°
W 19.973144°		 →
↑
619.01 m
↓
↑
619.01 m
↓
N 59.551025°
W 19.984131°		 ← 619.09 m →
383 190 m²		 N 59.551025°
W 19.973144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444503784179688 y=0.292861938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444503784179688 × 215)
    floor (0.444503784179688 × 32768)
    floor (14565.5)     		tx = 14565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292861938476562 × 215)
    floor (0.292861938476562 × 32768)
    floor (9596.5)     		ty = 9596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14565 / 9596 ti = "15/14565/9596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14565/9596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14565 ÷ 215
    14565 ÷ 32768     		x = 0.444488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9596 ÷ 215
    9596 ÷ 32768     		y = 0.2928466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.11102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34878888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2928466796875 × 2 - 1) × π
    0.414306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30158269848376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34878888} λ = -0.34878888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30158269848376))-π/2
    2×atan(3.67510865599094)-π/2
    2×1.30512747322387-π/2
    2.61025494644773-1.57079632675     		φ = 1.03945862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34878888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.984131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03945862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.556592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14565 KachelY 9596 -0.34878888 1.03945862 -19.984131 59.556592
    Oben rechts KachelX + 1 14566 KachelY 9596 -0.34859713 1.03945862 -19.973144 59.556592
    Unten links KachelX 14565 KachelY + 1 9597 -0.34878888 1.03936146 -19.984131 59.551025
    Unten rechts KachelX + 1 14566 KachelY + 1 9597 -0.34859713 1.03936146 -19.973144 59.551025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03945862-1.03936146) × R
    9.71599999999295e-05 × 6371000     		dl = 619.006359999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03945862-1.03936146) × R
    9.71599999999295e-05 × 6371000     		dr = 619.006359999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34878888--0.34859713) × cos(1.03945862) × R
    0.000191750000000046 × 0.506687071425887 × 6371000     		do = 618.988813921566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34878888--0.34859713) × cos(1.03936146) × R
    0.000191750000000046 × 0.506770833589188 × 6371000     		du = 619.091141067919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03945862)-sin(1.03936146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506687071425887-0.506770833589188)×R²
    abs(-0.34859713--0.34878888)×8.3762163300638e-05×R²
    0.000191750000000046×8.3762163300638e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.3762163300638e-05×40589641000000     		ar = 383189.683465111m²