Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14565 / 9502
↖ ↑ ↗
← N 60.075803°
W 19.984131°		 ← 609.42 m → N 60.075803°
W 19.973144°		 →
↑
609.45 m
↓
↑
609.45 m
↓
N 60.070322°
W 19.984131°		 ← 609.52 m →
371 441 m²		 N 60.070322°
W 19.973144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444503784179688 y=0.289993286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444503784179688 × 215)
    floor (0.444503784179688 × 32768)
    floor (14565.5)     		tx = 14565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289993286132812 × 215)
    floor (0.289993286132812 × 32768)
    floor (9502.5)     		ty = 9502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14565 / 9502 ti = "15/14565/9502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14565/9502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14565 ÷ 215
    14565 ÷ 32768     		x = 0.444488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9502 ÷ 215
    9502 ÷ 32768     		y = 0.28997802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.11102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34878888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28997802734375 × 2 - 1) × π
    0.4200439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.31960697274091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34878888} λ = -0.34878888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31960697274091))-π/2
    2×atan(3.7419503997034)-π/2
    2×1.30965844865951-π/2
    2.61931689731902-1.57079632675     		φ = 1.04852057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34878888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.984131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04852057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.075803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14565 KachelY 9502 -0.34878888 1.04852057 -19.984131 60.075803
    Oben rechts KachelX + 1 14566 KachelY 9502 -0.34859713 1.04852057 -19.973144 60.075803
    Unten links KachelX 14565 KachelY + 1 9503 -0.34878888 1.04842491 -19.984131 60.070322
    Unten rechts KachelX + 1 14566 KachelY + 1 9503 -0.34859713 1.04842491 -19.973144 60.070322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04852057-1.04842491) × R
    9.56599999999419e-05 × 6371000     		dl = 609.44985999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04852057-1.04842491) × R
    9.56599999999419e-05 × 6371000     		dr = 609.44985999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34878888--0.34859713) × cos(1.04852057) × R
    0.000191750000000046 × 0.498853794846199 × 6371000     		do = 609.419375795711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34878888--0.34859713) × cos(1.04842491) × R
    0.000191750000000046 × 0.498936699761201 × 6371000     		du = 609.520655693895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04852057)-sin(1.04842491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.498853794846199-0.498936699761201)×R²
    abs(-0.34859713--0.34878888)×8.29049150017358e-05×R²
    0.000191750000000046×8.29049150017358e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.29049150017358e-05×40589641000000     		ar = 371441.416052392m²