Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14565 / 21649
↖ ↑ ↗
← S 49.958288°
W 19.984131°		 ← 785.94 m → S 49.958288°
W 19.973144°		 →
↑
785.86 m
↓
↑
785.86 m
↓
S 49.965356°
W 19.984131°		 ← 785.82 m →
617 592 m²		 S 49.965356°
W 19.973144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444503784179688 y=0.660690307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444503784179688 × 215)
    floor (0.444503784179688 × 32768)
    floor (14565.5)     		tx = 14565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660690307617188 × 215)
    floor (0.660690307617188 × 32768)
    floor (21649.5)     		ty = 21649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14565 / 21649 ti = "15/14565/21649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14565/21649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14565 ÷ 215
    14565 ÷ 32768     		x = 0.444488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21649 ÷ 215
    21649 ÷ 32768     		y = 0.660675048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.11102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34878888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660675048828125 × 2 - 1) × π
    -0.32135009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00955110599838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34878888} λ = -0.34878888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00955110599838))-π/2
    2×atan(0.364382511988343)-π/2
    2×0.349429852541331-π/2
    0.698859705082662-1.57079632675     		φ = -0.87193662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34878888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.984131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87193662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.958288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14565 KachelY 21649 -0.34878888 -0.87193662 -19.984131 -49.958288
    Oben rechts KachelX + 1 14566 KachelY 21649 -0.34859713 -0.87193662 -19.973144 -49.958288
    Unten links KachelX 14565 KachelY + 1 21650 -0.34878888 -0.87205997 -19.984131 -49.965356
    Unten rechts KachelX + 1 14566 KachelY + 1 21650 -0.34859713 -0.87205997 -19.973144 -49.965356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87193662--0.87205997) × R
    0.000123349999999967 × 6371000     		dl = 785.862849999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87193662--0.87205997) × R
    0.000123349999999967 × 6371000     		dr = 785.862849999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34878888--0.34859713) × cos(-0.87193662) × R
    0.000191750000000046 × 0.64334512424959 × 6371000     		do = 785.935655079615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34878888--0.34859713) × cos(-0.87205997) × R
    0.000191750000000046 × 0.643250685520518 × 6371000     		du = 785.82028502146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87193662)-sin(-0.87205997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64334512424959-0.643250685520518)×R²
    abs(-0.34859713--0.34878888)×9.44387290724436e-05×R²
    0.000191750000000046×9.44387290724436e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.44387290724436e-05×40589641000000     		ar = 617592.302078538m²