Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14564 / 21412
↖ ↑ ↗
← S 48.253941°
W 19.995117°		 ← 813.40 m → S 48.253941°
W 19.984131°		 →
↑
813.32 m
↓
↑
813.32 m
↓
S 48.261256°
W 19.995117°		 ← 813.29 m →
661 512 m²		 S 48.261256°
W 19.984131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444473266601562 y=0.653457641601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444473266601562 × 215)
    floor (0.444473266601562 × 32768)
    floor (14564.5)     		tx = 14564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653457641601562 × 215)
    floor (0.653457641601562 × 32768)
    floor (21412.5)     		ty = 21412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14564 / 21412 ti = "15/14564/21412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14564/21412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14564 ÷ 215
    14564 ÷ 32768     		x = 0.4444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21412 ÷ 215
    21412 ÷ 32768     		y = 0.6534423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34898063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6534423828125 × 2 - 1) × π
    -0.306884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.964106925158569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34898063} λ = -0.34898063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.964106925158569))-π/2
    2×atan(0.381323598228071)-π/2
    2×0.364303088387907-π/2
    0.728606176775814-1.57079632675     		φ = -0.84219015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34898063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.995117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84219015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.253941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14564 KachelY 21412 -0.34898063 -0.84219015 -19.995117 -48.253941
    Oben rechts KachelX + 1 14565 KachelY 21412 -0.34878888 -0.84219015 -19.984131 -48.253941
    Unten links KachelX 14564 KachelY + 1 21413 -0.34898063 -0.84231781 -19.995117 -48.261256
    Unten rechts KachelX + 1 14565 KachelY + 1 21413 -0.34878888 -0.84231781 -19.984131 -48.261256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84219015--0.84231781) × R
    0.000127659999999974 × 6371000     		dl = 813.321859999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84219015--0.84231781) × R
    0.000127659999999974 × 6371000     		dr = 813.321859999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34898063--0.34878888) × cos(-0.84219015) × R
    0.000191749999999991 × 0.665830346188068 × 6371000     		do = 813.404484744391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34898063--0.34878888) × cos(-0.84231781) × R
    0.000191749999999991 × 0.665735093231261 × 6371000     		du = 813.288119993678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84219015)-sin(-0.84231781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665830346188068-0.665735093231261)×R²
    abs(-0.34878888--0.34898063)×9.52529568065685e-05×R²
    0.000191749999999991×9.52529568065685e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.52529568065685e-05×40589641000000     		ar = 661512.328365393m²