Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14563 / 9595
↖ ↑ ↗
← N 59.562158°
W 20.006104°		 ← 618.89 m → N 59.562158°
W 19.995117°		 →
↑
618.94 m
↓
↑
618.94 m
↓
N 59.556592°
W 20.006104°		 ← 618.99 m →
383 087 m²		 N 59.556592°
W 19.995117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444442749023438 y=0.292831420898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444442749023438 × 215)
    floor (0.444442749023438 × 32768)
    floor (14563.5)     		tx = 14563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292831420898438 × 215)
    floor (0.292831420898438 × 32768)
    floor (9595.5)     		ty = 9595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14563 / 9595 ti = "15/14563/9595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14563/9595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14563 ÷ 215
    14563 ÷ 32768     		x = 0.444427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9595 ÷ 215
    9595 ÷ 32768     		y = 0.292816162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.11114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34917238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292816162109375 × 2 - 1) × π
    0.41436767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30177444608224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34917238} λ = -0.34917238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30177444608224))-π/2
    2×atan(3.67581341681582)-π/2
    2×1.30517604722335-π/2
    2.61035209444671-1.57079632675     		φ = 1.03955577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34917238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.006104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03955577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.562158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14563 KachelY 9595 -0.34917238 1.03955577 -20.006104 59.562158
    Oben rechts KachelX + 1 14564 KachelY 9595 -0.34898063 1.03955577 -19.995117 59.562158
    Unten links KachelX 14563 KachelY + 1 9596 -0.34917238 1.03945862 -20.006104 59.556592
    Unten rechts KachelX + 1 14564 KachelY + 1 9596 -0.34898063 1.03945862 -19.995117 59.556592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03955577-1.03945862) × R
    9.71499999999903e-05 × 6371000     		dl = 618.942649999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03955577-1.03945862) × R
    9.71499999999903e-05 × 6371000     		dr = 618.942649999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34917238--0.34898063) × cos(1.03955577) × R
    0.000191749999999991 × 0.50660331310122 × 6371000     		do = 618.886491464459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34917238--0.34898063) × cos(1.03945862) × R
    0.000191749999999991 × 0.506687071425887 × 6371000     		du = 618.988813921387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03955577)-sin(1.03945862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50660331310122-0.506687071425887)×R²
    abs(-0.34898063--0.34917238)×8.37583246671159e-05×R²
    0.000191749999999991×8.37583246671159e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.37583246671159e-05×40589641000000     		ar = 383086.911243552m²