Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14563 / 21415
↖ ↑ ↗
← S 48.275881°
W 20.006104°		 ← 813.06 m → S 48.275881°
W 19.995117°		 →
↑
813 m
↓
↑
813 m
↓
S 48.283193°
W 20.006104°		 ← 812.94 m →
660 969 m²		 S 48.283193°
W 19.995117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444442749023438 y=0.653549194335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444442749023438 × 215)
    floor (0.444442749023438 × 32768)
    floor (14563.5)     		tx = 14563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653549194335938 × 215)
    floor (0.653549194335938 × 32768)
    floor (21415.5)     		ty = 21415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14563 / 21415 ti = "15/14563/21415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14563/21415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14563 ÷ 215
    14563 ÷ 32768     		x = 0.444427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21415 ÷ 215
    21415 ÷ 32768     		y = 0.653533935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.11114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34917238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653533935546875 × 2 - 1) × π
    -0.30706787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.96468216795401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34917238} λ = -0.34917238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.96468216795401))-π/2
    2×atan(0.381104307654167)-π/2
    2×0.364111622428399-π/2
    0.728223244856798-1.57079632675     		φ = -0.84257308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34917238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.006104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84257308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.275881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14563 KachelY 21415 -0.34917238 -0.84257308 -20.006104 -48.275881
    Oben rechts KachelX + 1 14564 KachelY 21415 -0.34898063 -0.84257308 -19.995117 -48.275881
    Unten links KachelX 14563 KachelY + 1 21416 -0.34917238 -0.84270069 -20.006104 -48.283193
    Unten rechts KachelX + 1 14564 KachelY + 1 21416 -0.34898063 -0.84270069 -19.995117 -48.283193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84257308--0.84270069) × R
    0.000127610000000056 × 6371000     		dl = 813.003310000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84257308--0.84270069) × R
    0.000127610000000056 × 6371000     		dr = 813.003310000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34917238--0.34898063) × cos(-0.84257308) × R
    0.000191749999999991 × 0.6655445920885 × 6371000     		do = 813.055396320511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34917238--0.34898063) × cos(-0.84270069) × R
    0.000191749999999991 × 0.665449343914145 × 6371000     		du = 812.939037412228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84257308)-sin(-0.84270069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6655445920885-0.665449343914145)×R²
    abs(-0.34898063--0.34917238)×9.52481743549116e-05×R²
    0.000191749999999991×9.52481743549116e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.52481743549116e-05×40589641000000     		ar = 660969.42923039m²