Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14562 / 21438
↖ ↑ ↗
← S 48.443778°
W 20.017090°		 ← 810.34 m → S 48.443778°
W 20.006104°		 →
↑
810.33 m
↓
↑
810.33 m
↓
S 48.451066°
W 20.017090°		 ← 810.22 m →
656 592 m²		 S 48.451066°
W 20.006104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444412231445312 y=0.654251098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444412231445312 × 215)
    floor (0.444412231445312 × 32768)
    floor (14562.5)     		tx = 14562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654251098632812 × 215)
    floor (0.654251098632812 × 32768)
    floor (21438.5)     		ty = 21438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14562 / 21438 ti = "15/14562/21438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14562/21438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14562 ÷ 215
    14562 ÷ 32768     		x = 0.44439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21438 ÷ 215
    21438 ÷ 32768     		y = 0.65423583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.1112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34936412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65423583984375 × 2 - 1) × π
    -0.3084716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.969092362719055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34936412} λ = -0.34936412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969092362719055))-π/2
    2×atan(0.37942726419394)-π/2
    2×0.362646446593647-π/2
    0.725292893187293-1.57079632675     		φ = -0.84550343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34936412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.017090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84550343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.443778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14562 KachelY 21438 -0.34936412 -0.84550343 -20.017090 -48.443778
    Oben rechts KachelX + 1 14563 KachelY 21438 -0.34917238 -0.84550343 -20.006104 -48.443778
    Unten links KachelX 14562 KachelY + 1 21439 -0.34936412 -0.84563062 -20.017090 -48.451066
    Unten rechts KachelX + 1 14563 KachelY + 1 21439 -0.34917238 -0.84563062 -20.006104 -48.451066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84550343--0.84563062) × R
    0.000127190000000055 × 6371000     		dl = 810.327490000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84550343--0.84563062) × R
    0.000127190000000055 × 6371000     		dr = 810.327490000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34936412--0.34917238) × cos(-0.84550343) × R
    0.000191739999999996 × 0.663354647297183 × 6371000     		do = 810.337811483548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34936412--0.34917238) × cos(-0.84563062) × R
    0.000191739999999996 × 0.663259464998546 × 6371000     		du = 810.221539115692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84550343)-sin(-0.84563062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663354647297183-0.663259464998546)×R²
    abs(-0.34917238--0.34936412)×9.5182298637364e-05×R²
    0.000191739999999996×9.5182298637364e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.5182298637364e-05×40589641000000     		ar = 656591.896368621m²