Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14562 / 21414
↖ ↑ ↗
← S 48.268569°
W 20.017090°		 ← 813.13 m → S 48.268569°
W 20.006104°		 →
↑
813.07 m
↓
↑
813.07 m
↓
S 48.275881°
W 20.017090°		 ← 813.01 m →
661 081 m²		 S 48.275881°
W 20.006104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444412231445312 y=0.653518676757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444412231445312 × 215)
    floor (0.444412231445312 × 32768)
    floor (14562.5)     		tx = 14562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653518676757812 × 215)
    floor (0.653518676757812 × 32768)
    floor (21414.5)     		ty = 21414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14562 / 21414 ti = "15/14562/21414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14562/21414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14562 ÷ 215
    14562 ÷ 32768     		x = 0.44439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21414 ÷ 215
    21414 ÷ 32768     		y = 0.65350341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.1112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34936412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65350341796875 × 2 - 1) × π
    -0.3070068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.96449042035553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34936412} λ = -0.34936412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.96449042035553))-π/2
    2×atan(0.381177390496436)-π/2
    2×0.36417543528279-π/2
    0.72835087056558-1.57079632675     		φ = -0.84244546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34936412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.017090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84244546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.268569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14562 KachelY 21414 -0.34936412 -0.84244546 -20.017090 -48.268569
    Oben rechts KachelX + 1 14563 KachelY 21414 -0.34917238 -0.84244546 -20.006104 -48.268569
    Unten links KachelX 14562 KachelY + 1 21415 -0.34936412 -0.84257308 -20.017090 -48.275881
    Unten rechts KachelX + 1 14563 KachelY + 1 21415 -0.34917238 -0.84257308 -20.006104 -48.275881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84244546--0.84257308) × R
    0.000127619999999995 × 6371000     		dl = 813.067019999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84244546--0.84257308) × R
    0.000127619999999995 × 6371000     		dr = 813.067019999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34936412--0.34917238) × cos(-0.84244546) × R
    0.000191739999999996 × 0.665639836887651 × 6371000     		do = 813.129343191526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34936412--0.34917238) × cos(-0.84257308) × R
    0.000191739999999996 × 0.6655445920885 × 6371000     		du = 813.012994474572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84244546)-sin(-0.84257308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665639836887651-0.6655445920885)×R²
    abs(-0.34917238--0.34936412)×9.52447991505734e-05×R²
    0.000191739999999996×9.52447991505734e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.52447991505734e-05×40589641000000     		ar = 661081.353188023m²