Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14561 / 9637
↖ ↑ ↗
← N 59.327585°
W 20.028076°		 ← 623.19 m → N 59.327585°
W 20.017090°		 →
↑
623.21 m
↓
↑
623.21 m
↓
N 59.321981°
W 20.028076°		 ← 623.30 m →
388 413 m²		 N 59.321981°
W 20.017090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444381713867188 y=0.294113159179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444381713867188 × 215)
    floor (0.444381713867188 × 32768)
    floor (14561.5)     		tx = 14561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294113159179688 × 215)
    floor (0.294113159179688 × 32768)
    floor (9637.5)     		ty = 9637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14561 / 9637 ti = "15/14561/9637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14561/9637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14561 ÷ 215
    14561 ÷ 32768     		x = 0.444366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9637 ÷ 215
    9637 ÷ 32768     		y = 0.294097900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.11126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34955587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294097900390625 × 2 - 1) × π
    0.41180419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.29372104694608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34955587} λ = -0.34955587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29372104694608))-π/2
    2×atan(3.64632950642293)-π/2
    2×1.30312901502909-π/2
    2.60625803005818-1.57079632675     		φ = 1.03546170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34955587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.028076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03546170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.327585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14561 KachelY 9637 -0.34955587 1.03546170 -20.028076 59.327585
    Oben rechts KachelX + 1 14562 KachelY 9637 -0.34936412 1.03546170 -20.017090 59.327585
    Unten links KachelX 14561 KachelY + 1 9638 -0.34955587 1.03536388 -20.028076 59.321981
    Unten rechts KachelX + 1 14562 KachelY + 1 9638 -0.34936412 1.03536388 -20.017090 59.321981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03546170-1.03536388) × R
    9.78199999999152e-05 × 6371000     		dl = 623.21121999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03546170-1.03536388) × R
    9.78199999999152e-05 × 6371000     		dr = 623.21121999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34955587--0.34936412) × cos(1.03546170) × R
    0.000191749999999991 × 0.510128879812739 × 6371000     		do = 623.193462137744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34955587--0.34936412) × cos(1.03536388) × R
    0.000191749999999991 × 0.510213012155836 × 6371000     		du = 623.296241510266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03546170)-sin(1.03536388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510128879812739-0.510213012155836)×R²
    abs(-0.34936412--0.34955587)×8.41323430966767e-05×R²
    0.000191749999999991×8.41323430966767e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.41323430966767e-05×40589641000000     		ar = 388413.184772875m²