Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14560 / 9888
↖ ↑ ↗
← N 57.891497°
W 20.039063°		 ← 649.33 m → N 57.891497°
W 20.028076°		 →
↑
649.40 m
↓
↑
649.40 m
↓
N 57.885657°
W 20.039063°		 ← 649.44 m →
421 707 m²		 N 57.885657°
W 20.028076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444351196289062 y=0.301773071289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444351196289062 × 215)
    floor (0.444351196289062 × 32768)
    floor (14560.5)     		tx = 14560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301773071289062 × 215)
    floor (0.301773071289062 × 32768)
    floor (9888.5)     		ty = 9888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14560 / 9888 ti = "15/14560/9888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14560/9888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14560 ÷ 215
    14560 ÷ 32768     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9888 ÷ 215
    9888 ÷ 32768     		y = 0.3017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3017578125 × 2 - 1) × π
    0.396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24559239972754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24559239972754))-π/2
    2×atan(3.47499277447749)-π/2
    2×1.29059678224517-π/2
    2.58119356449035-1.57079632675     		φ = 1.01039724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01039724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.891497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14560 KachelY 9888 -0.34974762 1.01039724 -20.039063 57.891497
    Oben rechts KachelX + 1 14561 KachelY 9888 -0.34955587 1.01039724 -20.028076 57.891497
    Unten links KachelX 14560 KachelY + 1 9889 -0.34974762 1.01029531 -20.039063 57.885657
    Unten rechts KachelX + 1 14561 KachelY + 1 9889 -0.34955587 1.01029531 -20.028076 57.885657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01039724-1.01029531) × R
    0.000101930000000028 × 6371000     		dl = 649.396030000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01039724-1.01029531) × R
    0.000101930000000028 × 6371000     		dr = 649.396030000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34955587) × cos(1.01039724) × R
    0.000191749999999991 × 0.531524283937538 × 6371000     		do = 649.330927586209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34955587) × cos(1.01029531) × R
    0.000191749999999991 × 0.531610620274702 × 6371000     		du = 649.43639944439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01039724)-sin(1.01029531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531524283937538-0.531610620274702)×R²
    abs(-0.34955587--0.34974762)×8.63363371645942e-05×R²
    0.000191749999999991×8.63363371645942e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.63363371645942e-05×40589641000000     		ar = 421707.173398944m²