Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14559 / 7316
↖ ↑ ↗
← N 70.065584°
W 20.050049°		 ← 416.51 m → N 70.065584°
W 20.039063°		 →
↑
416.54 m
↓
↑
416.54 m
↓
N 70.061838°
W 20.050049°		 ← 416.59 m →
173 507 m²		 N 70.061838°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444320678710938 y=0.223281860351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444320678710938 × 215)
    floor (0.444320678710938 × 32768)
    floor (14559.5)     		tx = 14559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223281860351562 × 215)
    floor (0.223281860351562 × 32768)
    floor (7316.5)     		ty = 7316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14559 / 7316 ti = "15/14559/7316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14559/7316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14559 ÷ 215
    14559 ÷ 32768     		x = 0.444305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7316 ÷ 215
    7316 ÷ 32768     		y = 0.2232666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.11138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34993937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2232666015625 × 2 - 1) × π
    0.553466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.73876722301868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34993937} λ = -0.34993937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73876722301868))-π/2
    2×atan(5.69032419630512)-π/2
    2×1.39683573567821-π/2
    2.79367147135642-1.57079632675     		φ = 1.22287514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34993937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.050049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22287514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.065584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14559 KachelY 7316 -0.34993937 1.22287514 -20.050049 70.065584
    Oben rechts KachelX + 1 14560 KachelY 7316 -0.34974762 1.22287514 -20.039063 70.065584
    Unten links KachelX 14559 KachelY + 1 7317 -0.34993937 1.22280976 -20.050049 70.061838
    Unten rechts KachelX + 1 14560 KachelY + 1 7317 -0.34974762 1.22280976 -20.039063 70.061838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22287514-1.22280976) × R
    6.53799999998927e-05 × 6371000     		dl = 416.535979999317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22287514-1.22280976) × R
    6.53799999998927e-05 × 6371000     		dr = 416.535979999317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34993937--0.34974762) × cos(1.22287514) × R
    0.000191750000000046 × 0.340944287551892 × 6371000     		do = 416.510923736777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34993937--0.34974762) × cos(1.22280976) × R
    0.000191750000000046 × 0.341005749482589 × 6371000     		du = 416.586008043698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22287514)-sin(1.22280976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340944287551892-0.341005749482589)×R²
    abs(-0.34974762--0.34993937)×6.14619306975595e-05×R²
    0.000191750000000046×6.14619306975595e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.14619306975595e-05×40589641000000     		ar = 173507.423519118m²