Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14559 / 21375
↖ ↑ ↗
← S 47.982568°
W 20.050049°		 ← 817.71 m → S 47.982568°
W 20.039063°		 →
↑
817.65 m
↓
↑
817.65 m
↓
S 47.989922°
W 20.050049°		 ← 817.60 m →
668 558 m²		 S 47.989922°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444320678710938 y=0.652328491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444320678710938 × 215)
    floor (0.444320678710938 × 32768)
    floor (14559.5)     		tx = 14559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652328491210938 × 215)
    floor (0.652328491210938 × 32768)
    floor (21375.5)     		ty = 21375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14559 / 21375 ti = "15/14559/21375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14559/21375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14559 ÷ 215
    14559 ÷ 32768     		x = 0.444305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21375 ÷ 215
    21375 ÷ 32768     		y = 0.652313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.11138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34993937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652313232421875 × 2 - 1) × π
    -0.30462646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.957012264014801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34993937} λ = -0.34993937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957012264014801))-π/2
    2×atan(0.384038579491631)-π/2
    2×0.366671262167235-π/2
    0.73334252433447-1.57079632675     		φ = -0.83745380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34993937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.050049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83745380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.982568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14559 KachelY 21375 -0.34993937 -0.83745380 -20.050049 -47.982568
    Oben rechts KachelX + 1 14560 KachelY 21375 -0.34974762 -0.83745380 -20.039063 -47.982568
    Unten links KachelX 14559 KachelY + 1 21376 -0.34993937 -0.83758214 -20.050049 -47.989922
    Unten rechts KachelX + 1 14560 KachelY + 1 21376 -0.34974762 -0.83758214 -20.039063 -47.989922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83745380--0.83758214) × R
    0.000128339999999949 × 6371000     		dl = 817.654139999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83745380--0.83758214) × R
    0.000128339999999949 × 6371000     		dr = 817.654139999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34993937--0.34974762) × cos(-0.83745380) × R
    0.000191750000000046 × 0.669356670480249 × 6371000     		do = 817.712380908185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34993937--0.34974762) × cos(-0.83758214) × R
    0.000191750000000046 × 0.669261315892548 × 6371000     		du = 817.595892001181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83745380)-sin(-0.83758214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669356670480249-0.669261315892548)×R²
    abs(-0.34974762--0.34993937)×9.53545877012685e-05×R²
    0.000191750000000046×9.53545877012685e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.53545877012685e-05×40589641000000     		ar = 668558.290677681m²