Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14558 / 21614
↖ ↑ ↗
← S 49.710273°
W 20.061035°		 ← 789.94 m → S 49.710273°
W 20.050049°		 →
↑
789.88 m
↓
↑
789.88 m
↓
S 49.717376°
W 20.061035°		 ← 789.82 m →
623 906 m²		 S 49.717376°
W 20.050049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444290161132812 y=0.659622192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444290161132812 × 215)
    floor (0.444290161132812 × 32768)
    floor (14558.5)     		tx = 14558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659622192382812 × 215)
    floor (0.659622192382812 × 32768)
    floor (21614.5)     		ty = 21614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14558 / 21614 ti = "15/14558/21614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14558/21614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14558 ÷ 215
    14558 ÷ 32768     		x = 0.44427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21614 ÷ 215
    21614 ÷ 32768     		y = 0.65960693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.1114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35013111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65960693359375 × 2 - 1) × π
    -0.3192138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00283994005157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35013111} λ = -0.35013111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00283994005157))-π/2
    2×atan(0.366836167730513)-π/2
    2×0.351594199095912-π/2
    0.703188398191824-1.57079632675     		φ = -0.86760793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35013111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.061035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86760793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.710273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14558 KachelY 21614 -0.35013111 -0.86760793 -20.061035 -49.710273
    Oben rechts KachelX + 1 14559 KachelY 21614 -0.34993937 -0.86760793 -20.050049 -49.710273
    Unten links KachelX 14558 KachelY + 1 21615 -0.35013111 -0.86773191 -20.061035 -49.717376
    Unten rechts KachelX + 1 14559 KachelY + 1 21615 -0.34993937 -0.86773191 -20.050049 -49.717376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86760793--0.86773191) × R
    0.000123980000000024 × 6371000     		dl = 789.87658000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86760793--0.86773191) × R
    0.000123980000000024 × 6371000     		dr = 789.87658000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35013111--0.34993937) × cos(-0.86760793) × R
    0.000191739999999996 × 0.646653028969264 × 6371000     		do = 789.935523055747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35013111--0.34993937) × cos(-0.86773191) × R
    0.000191739999999996 × 0.64655845400442 × 6371000     		du = 789.819992591997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86760793)-sin(-0.86773191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646653028969264-0.64655845400442)×R²
    abs(-0.34993937--0.35013111)×9.45749648447736e-05×R²
    0.000191739999999996×9.45749648447736e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.45749648447736e-05×40589641000000     		ar = 623905.942768052m²