Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14557 / 21621
↖ ↑ ↗
← S 49.759977°
W 20.072021°		 ← 789.17 m → S 49.759977°
W 20.061035°		 →
↑
789.11 m
↓
↑
789.11 m
↓
S 49.767074°
W 20.072021°		 ← 789.05 m →
622 696 m²		 S 49.767074°
W 20.061035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444259643554688 y=0.659835815429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444259643554688 × 215)
    floor (0.444259643554688 × 32768)
    floor (14557.5)     		tx = 14557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659835815429688 × 215)
    floor (0.659835815429688 × 32768)
    floor (21621.5)     		ty = 21621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14557 / 21621 ti = "15/14557/21621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14557/21621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14557 ÷ 215
    14557 ÷ 32768     		x = 0.444244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21621 ÷ 215
    21621 ÷ 32768     		y = 0.659820556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444244384765625 × 2 - 1) × π
    -0.11151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35032286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659820556640625 × 2 - 1) × π
    -0.31964111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00418217324094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35032286} λ = -0.35032286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00418217324094))-π/2
    2×atan(0.366344118347505)-π/2
    2×0.351160441656682-π/2
    0.702320883313365-1.57079632675     		φ = -0.86847544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35032286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.072021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86847544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.759977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14557 KachelY 21621 -0.35032286 -0.86847544 -20.072021 -49.759977
    Oben rechts KachelX + 1 14558 KachelY 21621 -0.35013111 -0.86847544 -20.061035 -49.759977
    Unten links KachelX 14557 KachelY + 1 21622 -0.35032286 -0.86859930 -20.072021 -49.767074
    Unten rechts KachelX + 1 14558 KachelY + 1 21622 -0.35013111 -0.86859930 -20.061035 -49.767074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86847544--0.86859930) × R
    0.000123859999999976 × 6371000     		dl = 789.112059999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86847544--0.86859930) × R
    0.000123859999999976 × 6371000     		dr = 789.112059999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35032286--0.35013111) × cos(-0.86847544) × R
    0.000191749999999991 × 0.645991062733224 × 6371000     		do = 789.168037384079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35032286--0.35013111) × cos(-0.86859930) × R
    0.000191749999999991 × 0.645896509870014 × 6371000     		du = 789.052527895183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86847544)-sin(-0.86859930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645991062733224-0.645896509870014)×R²
    abs(-0.35013111--0.35032286)×9.45528632092518e-05×R²
    0.000191749999999991×9.45528632092518e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.45528632092518e-05×40589641000000     		ar = 622696.44149651m²