Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14556 / 9698
↖ ↑ ↗
← N 58.983991°
W 20.083008°		 ← 629.48 m → N 58.983991°
W 20.072021°		 →
↑
629.52 m
↓
↑
629.52 m
↓
N 58.978330°
W 20.083008°		 ← 629.59 m →
396 304 m²		 N 58.978330°
W 20.072021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444229125976562 y=0.295974731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444229125976562 × 215)
    floor (0.444229125976562 × 32768)
    floor (14556.5)     		tx = 14556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295974731445312 × 215)
    floor (0.295974731445312 × 32768)
    floor (9698.5)     		ty = 9698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14556 / 9698 ti = "15/14556/9698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14556/9698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14556 ÷ 215
    14556 ÷ 32768     		x = 0.4442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9698 ÷ 215
    9698 ÷ 32768     		y = 0.29595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35051461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29595947265625 × 2 - 1) × π
    0.4080810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28202444343878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35051461} λ = -0.35051461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28202444343878))-π/2
    2×atan(3.6039282944218)-π/2
    2×1.30013058812385-π/2
    2.60026117624769-1.57079632675     		φ = 1.02946485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35051461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.083008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02946485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.983991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14556 KachelY 9698 -0.35051461 1.02946485 -20.083008 58.983991
    Oben rechts KachelX + 1 14557 KachelY 9698 -0.35032286 1.02946485 -20.072021 58.983991
    Unten links KachelX 14556 KachelY + 1 9699 -0.35051461 1.02936604 -20.083008 58.978330
    Unten rechts KachelX + 1 14557 KachelY + 1 9699 -0.35032286 1.02936604 -20.072021 58.978330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02946485-1.02936604) × R
    9.88100000001157e-05 × 6371000     		dl = 629.518510000737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02946485-1.02936604) × R
    9.88100000001157e-05 × 6371000     		dr = 629.518510000737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35051461--0.35032286) × cos(1.02946485) × R
    0.000191749999999991 × 0.515277554783791 × 6371000     		do = 629.483285567874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35051461--0.35032286) × cos(1.02936604) × R
    0.000191749999999991 × 0.515362234746533 × 6371000     		du = 629.586733934047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02946485)-sin(1.02936604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515277554783791-0.515362234746533)×R²
    abs(-0.35032286--0.35051461)×8.46799627417516e-05×R²
    0.000191749999999991×8.46799627417516e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.46799627417516e-05×40589641000000     		ar = 396303.941654932m²