Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14556 / 21620
↖ ↑ ↗
← S 49.752880°
W 20.083008°		 ← 789.28 m → S 49.752880°
W 20.072021°		 →
↑
789.18 m
↓
↑
789.18 m
↓
S 49.759977°
W 20.083008°		 ← 789.17 m →
622 838 m²		 S 49.759977°
W 20.072021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444229125976562 y=0.659805297851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444229125976562 × 215)
    floor (0.444229125976562 × 32768)
    floor (14556.5)     		tx = 14556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659805297851562 × 215)
    floor (0.659805297851562 × 32768)
    floor (21620.5)     		ty = 21620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14556 / 21620 ti = "15/14556/21620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14556/21620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14556 ÷ 215
    14556 ÷ 32768     		x = 0.4442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21620 ÷ 215
    21620 ÷ 32768     		y = 0.6597900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35051461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6597900390625 × 2 - 1) × π
    -0.319580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00399042564246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35051461} λ = -0.35051461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00399042564246))-π/2
    2×atan(0.366414370687559)-π/2
    2×0.351222379806548-π/2
    0.702444759613096-1.57079632675     		φ = -0.86835157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35051461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.083008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86835157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.752880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14556 KachelY 21620 -0.35051461 -0.86835157 -20.083008 -49.752880
    Oben rechts KachelX + 1 14557 KachelY 21620 -0.35032286 -0.86835157 -20.072021 -49.752880
    Unten links KachelX 14556 KachelY + 1 21621 -0.35051461 -0.86847544 -20.083008 -49.759977
    Unten rechts KachelX + 1 14557 KachelY + 1 21621 -0.35032286 -0.86847544 -20.072021 -49.759977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86835157--0.86847544) × R
    0.000123870000000026 × 6371000     		dl = 789.175770000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86835157--0.86847544) × R
    0.000123870000000026 × 6371000     		dr = 789.175770000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35051461--0.35032286) × cos(-0.86835157) × R
    0.000191749999999991 × 0.64608561331874 × 6371000     		do = 789.283544090457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35051461--0.35032286) × cos(-0.86847544) × R
    0.000191749999999991 × 0.645991062733224 × 6371000     		du = 789.168037384079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86835157)-sin(-0.86847544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64608561331874-0.645991062733224)×R²
    abs(-0.35032286--0.35051461)×9.45505855164397e-05×R²
    0.000191749999999991×9.45505855164397e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.45505855164397e-05×40589641000000     		ar = 622837.871905956m²