Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14555 / 9696
↖ ↑ ↗
← N 58.995311°
W 20.093994°		 ← 629.28 m → N 58.995311°
W 20.083008°		 →
↑
629.33 m
↓
↑
629.33 m
↓
N 58.989651°
W 20.093994°		 ← 629.38 m →
396 053 m²		 N 58.989651°
W 20.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444198608398438 y=0.295913696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444198608398438 × 215)
    floor (0.444198608398438 × 32768)
    floor (14555.5)     		tx = 14555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295913696289062 × 215)
    floor (0.295913696289062 × 32768)
    floor (9696.5)     		ty = 9696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14555 / 9696 ti = "15/14555/9696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14555/9696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14555 ÷ 215
    14555 ÷ 32768     		x = 0.444183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9696 ÷ 215
    9696 ÷ 32768     		y = 0.2958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.11163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35070636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2958984375 × 2 - 1) × π
    0.408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28240793863574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35070636} λ = -0.35070636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28240793863574))-π/2
    2×atan(3.60531064865906)-π/2
    2×1.3002293751222-π/2
    2.60045875024441-1.57079632675     		φ = 1.02966242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35070636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.093994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02966242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.995311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14555 KachelY 9696 -0.35070636 1.02966242 -20.093994 58.995311
    Oben rechts KachelX + 1 14556 KachelY 9696 -0.35051461 1.02966242 -20.083008 58.995311
    Unten links KachelX 14555 KachelY + 1 9697 -0.35070636 1.02956364 -20.093994 58.989651
    Unten rechts KachelX + 1 14556 KachelY + 1 9697 -0.35051461 1.02956364 -20.083008 58.989651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02966242-1.02956364) × R
    9.8780000000076e-05 × 6371000     		dl = 629.327380000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02966242-1.02956364) × R
    9.8780000000076e-05 × 6371000     		dr = 629.327380000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35070636--0.35051461) × cos(1.02966242) × R
    0.000191749999999991 × 0.515108222622785 × 6371000     		do = 629.276422753701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35070636--0.35051461) × cos(1.02956364) × R
    0.000191749999999991 × 0.515192886931666 × 6371000     		du = 629.379851996504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02966242)-sin(1.02956364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515108222622785-0.515192886931666)×R²
    abs(-0.35051461--0.35070636)×8.46643088805443e-05×R²
    0.000191749999999991×8.46643088805443e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.46643088805443e-05×40589641000000     		ar = 396053.428177431m²