Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14555 / 21410
↖ ↑ ↗
← S 48.239309°
W 20.093994°		 ← 813.64 m → S 48.239309°
W 20.083008°		 →
↑
813.58 m
↓
↑
813.58 m
↓
S 48.246626°
W 20.093994°		 ← 813.52 m →
661 909 m²		 S 48.246626°
W 20.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444198608398438 y=0.653396606445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444198608398438 × 215)
    floor (0.444198608398438 × 32768)
    floor (14555.5)     		tx = 14555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653396606445312 × 215)
    floor (0.653396606445312 × 32768)
    floor (21410.5)     		ty = 21410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14555 / 21410 ti = "15/14555/21410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14555/21410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14555 ÷ 215
    14555 ÷ 32768     		x = 0.444183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21410 ÷ 215
    21410 ÷ 32768     		y = 0.65338134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.11163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35070636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65338134765625 × 2 - 1) × π
    -0.3067626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.963723429961609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35070636} λ = -0.35070636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.963723429961609))-π/2
    2×atan(0.381469862040421)-π/2
    2×0.364430778023248-π/2
    0.728861556046495-1.57079632675     		φ = -0.84193477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35070636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.093994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84193477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.239309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14555 KachelY 21410 -0.35070636 -0.84193477 -20.093994 -48.239309
    Oben rechts KachelX + 1 14556 KachelY 21410 -0.35051461 -0.84193477 -20.083008 -48.239309
    Unten links KachelX 14555 KachelY + 1 21411 -0.35070636 -0.84206247 -20.093994 -48.246626
    Unten rechts KachelX + 1 14556 KachelY + 1 21411 -0.35051461 -0.84206247 -20.083008 -48.246626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84193477--0.84206247) × R
    0.000127699999999953 × 6371000     		dl = 813.5766999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84193477--0.84206247) × R
    0.000127699999999953 × 6371000     		dr = 813.5766999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35070636--0.35051461) × cos(-0.84193477) × R
    0.000191749999999991 × 0.666020864302854 × 6371000     		do = 813.63722915125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35070636--0.35051461) × cos(-0.84206247) × R
    0.000191749999999991 × 0.66592560321415 × 6371000     		du = 813.520854466292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84193477)-sin(-0.84206247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666020864302854-0.66592560321415)×R²
    abs(-0.35051461--0.35070636)×9.52610887040573e-05×R²
    0.000191749999999991×9.52610887040573e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.52610887040573e-05×40589641000000     		ar = 661908.952923201m²