Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14554 / 21622
↖ ↑ ↗
← S 49.767074°
W 20.104981°		 ← 789.05 m → S 49.767074°
W 20.093994°		 →
↑
788.98 m
↓
↑
788.98 m
↓
S 49.774169°
W 20.104981°		 ← 788.94 m →
622 505 m²		 S 49.774169°
W 20.093994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444168090820312 y=0.659866333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444168090820312 × 215)
    floor (0.444168090820312 × 32768)
    floor (14554.5)     		tx = 14554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659866333007812 × 215)
    floor (0.659866333007812 × 32768)
    floor (21622.5)     		ty = 21622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14554 / 21622 ti = "15/14554/21622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14554/21622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14554 ÷ 215
    14554 ÷ 32768     		x = 0.44415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21622 ÷ 215
    21622 ÷ 32768     		y = 0.65985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35089811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65985107421875 × 2 - 1) × π
    -0.3197021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00437392083942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35089811} λ = -0.35089811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00437392083942))-π/2
    2×atan(0.366273879476878)-π/2
    2×0.351098512572013-π/2
    0.702197025144026-1.57079632675     		φ = -0.86859930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35089811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.104981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86859930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.767074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14554 KachelY 21622 -0.35089811 -0.86859930 -20.104981 -49.767074
    Oben rechts KachelX + 1 14555 KachelY 21622 -0.35070636 -0.86859930 -20.093994 -49.767074
    Unten links KachelX 14554 KachelY + 1 21623 -0.35089811 -0.86872314 -20.104981 -49.774169
    Unten rechts KachelX + 1 14555 KachelY + 1 21623 -0.35070636 -0.86872314 -20.093994 -49.774169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86859930--0.86872314) × R
    0.000123839999999986 × 6371000     		dl = 788.984639999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86859930--0.86872314) × R
    0.000123839999999986 × 6371000     		dr = 788.984639999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35089811--0.35070636) × cos(-0.86859930) × R
    0.000191749999999991 × 0.645896509870014 × 6371000     		do = 789.052527895183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35089811--0.35070636) × cos(-0.86872314) × R
    0.000191749999999991 × 0.645801962368012 × 6371000     		du = 788.937024955748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86859930)-sin(-0.86872314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645896509870014-0.645801962368012)×R²
    abs(-0.35070636--0.35089811)×9.45475020018849e-05×R²
    0.000191749999999991×9.45475020018849e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.45475020018849e-05×40589641000000     		ar = 622504.760435574m²