Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14554 / 21610
↖ ↑ ↗
← S 49.681847°
W 20.104981°		 ← 790.44 m → S 49.681847°
W 20.093994°		 →
↑
790.32 m
↓
↑
790.32 m
↓
S 49.688955°
W 20.104981°		 ← 790.32 m →
624 656 m²		 S 49.688955°
W 20.093994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444168090820312 y=0.659500122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444168090820312 × 215)
    floor (0.444168090820312 × 32768)
    floor (14554.5)     		tx = 14554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659500122070312 × 215)
    floor (0.659500122070312 × 32768)
    floor (21610.5)     		ty = 21610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14554 / 21610 ti = "15/14554/21610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14554/21610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14554 ÷ 215
    14554 ÷ 32768     		x = 0.44415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21610 ÷ 215
    21610 ÷ 32768     		y = 0.65948486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35089811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65948486328125 × 2 - 1) × π
    -0.3189697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00207294965765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35089811} λ = -0.35089811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00207294965765))-π/2
    2×atan(0.367117635475034)-π/2
    2×0.35184225997357-π/2
    0.70368451994714-1.57079632675     		φ = -0.86711181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35089811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.104981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86711181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.681847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14554 KachelY 21610 -0.35089811 -0.86711181 -20.104981 -49.681847
    Oben rechts KachelX + 1 14555 KachelY 21610 -0.35070636 -0.86711181 -20.093994 -49.681847
    Unten links KachelX 14554 KachelY + 1 21611 -0.35089811 -0.86723586 -20.104981 -49.688955
    Unten rechts KachelX + 1 14555 KachelY + 1 21611 -0.35070636 -0.86723586 -20.093994 -49.688955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86711181--0.86723586) × R
    0.000124049999999931 × 6371000     		dl = 790.322549999561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86711181--0.86723586) × R
    0.000124049999999931 × 6371000     		dr = 790.322549999561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35089811--0.35070636) × cos(-0.86711181) × R
    0.000191749999999991 × 0.647031381909497 × 6371000     		do = 790.438932122343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35089811--0.35070636) × cos(-0.86723586) × R
    0.000191749999999991 × 0.646936793350283 × 6371000     		du = 790.323379025805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86711181)-sin(-0.86723586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647031381909497-0.646936793350283)×R²
    abs(-0.35070636--0.35089811)×9.45885592144036e-05×R²
    0.000191749999999991×9.45885592144036e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.45885592144036e-05×40589641000000     		ar = 624656.051145555m²