Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14552 / 9019
↖ ↑ ↗
← N 62.618615°
W 20.126953°		 ← 561.85 m → N 62.618615°
W 20.115967°		 →
↑
561.86 m
↓
↑
561.86 m
↓
N 62.613562°
W 20.126953°		 ← 561.94 m →
315 705 m²		 N 62.613562°
W 20.115967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444107055664062 y=0.275253295898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444107055664062 × 215)
    floor (0.444107055664062 × 32768)
    floor (14552.5)     		tx = 14552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275253295898438 × 215)
    floor (0.275253295898438 × 32768)
    floor (9019.5)     		ty = 9019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14552 / 9019 ti = "15/14552/9019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14552/9019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14552 ÷ 215
    14552 ÷ 32768     		x = 0.444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9019 ÷ 215
    9019 ÷ 32768     		y = 0.275238037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275238037109375 × 2 - 1) × π
    0.44952392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.41222106280685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35128160} λ = -0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41222106280685))-π/2
    2×atan(4.10506288868133)-π/2
    2×1.33184866813029-π/2
    2.66369733626059-1.57079632675     		φ = 1.09290101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09290101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.618615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14552 KachelY 9019 -0.35128160 1.09290101 -20.126953 62.618615
    Oben rechts KachelX + 1 14553 KachelY 9019 -0.35108985 1.09290101 -20.115967 62.618615
    Unten links KachelX 14552 KachelY + 1 9020 -0.35128160 1.09281282 -20.126953 62.613562
    Unten rechts KachelX + 1 14553 KachelY + 1 9020 -0.35108985 1.09281282 -20.115967 62.613562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09290101-1.09281282) × R
    8.81900000000435e-05 × 6371000     		dl = 561.858490000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09290101-1.09281282) × R
    8.81900000000435e-05 × 6371000     		dr = 561.858490000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35128160--0.35108985) × cos(1.09290101) × R
    0.000191750000000046 × 0.459911310833511 × 6371000     		do = 561.845708833303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35128160--0.35108985) × cos(1.09281282) × R
    0.000191750000000046 × 0.459989618665619 × 6371000     		du = 561.941372754588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09290101)-sin(1.09281282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459911310833511-0.459989618665619)×R²
    abs(-0.35108985--0.35128160)×7.83078321081598e-05×R²
    0.000191750000000046×7.83078321081598e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.83078321081598e-05×40589641000000     		ar = 315704.656576795m²