Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14552 / 7016
↖ ↑ ↗
← N 71.159391°
W 20.126953°		 ← 394.51 m → N 71.159391°
W 20.115967°		 →
↑
394.49 m
↓
↑
394.49 m
↓
N 71.155843°
W 20.126953°		 ← 394.58 m →
155 646 m²		 N 71.155843°
W 20.115967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444107055664062 y=0.214126586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444107055664062 × 215)
    floor (0.444107055664062 × 32768)
    floor (14552.5)     		tx = 14552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214126586914062 × 215)
    floor (0.214126586914062 × 32768)
    floor (7016.5)     		ty = 7016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14552 / 7016 ti = "15/14552/7016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14552/7016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14552 ÷ 215
    14552 ÷ 32768     		x = 0.444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7016 ÷ 215
    7016 ÷ 32768     		y = 0.214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214111328125 × 2 - 1) × π
    0.57177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79629150256274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35128160} λ = -0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79629150256274))-π/2
    2×atan(6.02725391117705)-π/2
    2×1.40638100035856-π/2
    2.81276200071712-1.57079632675     		φ = 1.24196567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24196567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.159391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14552 KachelY 7016 -0.35128160 1.24196567 -20.126953 71.159391
    Oben rechts KachelX + 1 14553 KachelY 7016 -0.35108985 1.24196567 -20.115967 71.159391
    Unten links KachelX 14552 KachelY + 1 7017 -0.35128160 1.24190375 -20.126953 71.155843
    Unten rechts KachelX + 1 14553 KachelY + 1 7017 -0.35108985 1.24190375 -20.115967 71.155843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24196567-1.24190375) × R
    6.19199999998266e-05 × 6371000     		dl = 394.492319998895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24196567-1.24190375) × R
    6.19199999998266e-05 × 6371000     		dr = 394.492319998895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35128160--0.35108985) × cos(1.24196567) × R
    0.000191750000000046 × 0.322936558918546 × 6371000     		do = 394.511975634928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35128160--0.35108985) × cos(1.24190375) × R
    0.000191750000000046 × 0.322995160663854 × 6371000     		du = 394.583565827115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24196567)-sin(1.24190375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322936558918546-0.322995160663854)×R²
    abs(-0.35108985--0.35128160)×5.8601745308029e-05×R²
    0.000191750000000046×5.8601745308029e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.8601745308029e-05×40589641000000     		ar = 155646.065476461m²