Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14552 / 21688
↖ ↑ ↗
← S 50.233152°
W 20.126953°		 ← 781.44 m → S 50.233152°
W 20.115967°		 →
↑
781.40 m
↓
↑
781.40 m
↓
S 50.240179°
W 20.126953°		 ← 781.32 m →
610 575 m²		 S 50.240179°
W 20.115967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444107055664062 y=0.661880493164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444107055664062 × 215)
    floor (0.444107055664062 × 32768)
    floor (14552.5)     		tx = 14552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661880493164062 × 215)
    floor (0.661880493164062 × 32768)
    floor (21688.5)     		ty = 21688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14552 / 21688 ti = "15/14552/21688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14552/21688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14552 ÷ 215
    14552 ÷ 32768     		x = 0.444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21688 ÷ 215
    21688 ÷ 32768     		y = 0.661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.32373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01702926233911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35128160} λ = -0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01702926233911))-π/2
    2×atan(0.361667765895065)-π/2
    2×0.347031216841314-π/2
    0.694062433682627-1.57079632675     		φ = -0.87673389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87673389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.233152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14552 KachelY 21688 -0.35128160 -0.87673389 -20.126953 -50.233152
    Oben rechts KachelX + 1 14553 KachelY 21688 -0.35108985 -0.87673389 -20.115967 -50.233152
    Unten links KachelX 14552 KachelY + 1 21689 -0.35128160 -0.87685654 -20.126953 -50.240179
    Unten rechts KachelX + 1 14553 KachelY + 1 21689 -0.35108985 -0.87685654 -20.115967 -50.240179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87673389--0.87685654) × R
    0.000122650000000002 × 6371000     		dl = 781.403150000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87673389--0.87685654) × R
    0.000122650000000002 × 6371000     		dr = 781.403150000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35128160--0.35108985) × cos(-0.87673389) × R
    0.000191750000000046 × 0.639665059288992 × 6371000     		do = 781.439943281197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35128160--0.35108985) × cos(-0.87685654) × R
    0.000191750000000046 × 0.639570779093585 × 6371000     		du = 781.32476689399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87673389)-sin(-0.87685654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639665059288992-0.639570779093585)×R²
    abs(-0.35108985--0.35128160)×9.42801954065819e-05×R²
    0.000191750000000046×9.42801954065819e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.42801954065819e-05×40589641000000     		ar = 610574.634385057m²