Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14552 / 21656
↖ ↑ ↗
← S 50.007739°
W 20.126953°		 ← 785.13 m → S 50.007739°
W 20.115967°		 →
↑
785.03 m
↓
↑
785.03 m
↓
S 50.014799°
W 20.126953°		 ← 785.01 m →
616 308 m²		 S 50.014799°
W 20.115967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444107055664062 y=0.660903930664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444107055664062 × 215)
    floor (0.444107055664062 × 32768)
    floor (14552.5)     		tx = 14552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660903930664062 × 215)
    floor (0.660903930664062 × 32768)
    floor (21656.5)     		ty = 21656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14552 / 21656 ti = "15/14552/21656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14552/21656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14552 ÷ 215
    14552 ÷ 32768     		x = 0.444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21656 ÷ 215
    21656 ÷ 32768     		y = 0.660888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660888671875 × 2 - 1) × π
    -0.32177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01089333918774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35128160} λ = -0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01089333918774))-π/2
    2×atan(0.363893753774256)-π/2
    2×0.348998314765014-π/2
    0.697996629530028-1.57079632675     		φ = -0.87279970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87279970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.007739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14552 KachelY 21656 -0.35128160 -0.87279970 -20.126953 -50.007739
    Oben rechts KachelX + 1 14553 KachelY 21656 -0.35108985 -0.87279970 -20.115967 -50.007739
    Unten links KachelX 14552 KachelY + 1 21657 -0.35128160 -0.87292292 -20.126953 -50.014799
    Unten rechts KachelX + 1 14553 KachelY + 1 21657 -0.35108985 -0.87292292 -20.115967 -50.014799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87279970--0.87292292) × R
    0.00012322000000009 × 6371000     		dl = 785.034620000576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87279970--0.87292292) × R
    0.00012322000000009 × 6371000     		dr = 785.034620000576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35128160--0.35108985) × cos(-0.87279970) × R
    0.000191750000000046 × 0.642684131133747 × 6371000     		do = 785.12815994532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35128160--0.35108985) × cos(-0.87292292) × R
    0.000191750000000046 × 0.642589723561134 × 6371000     		du = 785.01282794912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87279970)-sin(-0.87292292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642684131133747-0.642589723561134)×R²
    abs(-0.35108985--0.35128160)×9.4407572612254e-05×R²
    0.000191750000000046×9.4407572612254e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.4407572612254e-05×40589641000000     		ar = 616307.517669653m²