Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14551 / 9000
↖ ↑ ↗
← N 62.714462°
W 20.137940°		 ← 560.03 m → N 62.714462°
W 20.126953°		 →
↑
560.07 m
↓
↑
560.07 m
↓
N 62.709425°
W 20.137940°		 ← 560.13 m →
313 685 m²		 N 62.709425°
W 20.126953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444076538085938 y=0.274673461914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444076538085938 × 215)
    floor (0.444076538085938 × 32768)
    floor (14551.5)     		tx = 14551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274673461914062 × 215)
    floor (0.274673461914062 × 32768)
    floor (9000.5)     		ty = 9000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14551 / 9000 ti = "15/14551/9000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14551/9000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14551 ÷ 215
    14551 ÷ 32768     		x = 0.444061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9000 ÷ 215
    9000 ÷ 32768     		y = 0.274658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444061279296875 × 2 - 1) × π
    -0.11187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35147335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274658203125 × 2 - 1) × π
    0.45068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.41586426717798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35147335} λ = -0.35147335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41586426717798))-π/2
    2×atan(4.12004574797815)-π/2
    2×1.33268508953234-π/2
    2.66537017906468-1.57079632675     		φ = 1.09457385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35147335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.137940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09457385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.714462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14551 KachelY 9000 -0.35147335 1.09457385 -20.137940 62.714462
    Oben rechts KachelX + 1 14552 KachelY 9000 -0.35128160 1.09457385 -20.126953 62.714462
    Unten links KachelX 14551 KachelY + 1 9001 -0.35147335 1.09448594 -20.137940 62.709425
    Unten rechts KachelX + 1 14552 KachelY + 1 9001 -0.35128160 1.09448594 -20.126953 62.709425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09457385-1.09448594) × R
    8.79099999999688e-05 × 6371000     		dl = 560.074609999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09457385-1.09448594) × R
    8.79099999999688e-05 × 6371000     		dr = 560.074609999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35147335--0.35128160) × cos(1.09457385) × R
    0.000191749999999991 × 0.458425244889664 × 6371000     		do = 560.030272348047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35147335--0.35128160) × cos(1.09448594) × R
    0.000191749999999991 × 0.458503371633705 × 6371000     		du = 560.125715045042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09457385)-sin(1.09448594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458425244889664-0.458503371633705)×R²
    abs(-0.35128160--0.35147335)×7.81267440409517e-05×R²
    0.000191749999999991×7.81267440409517e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.81267440409517e-05×40589641000000     		ar = 313685.464090694m²