Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14551 / 21639
↖ ↑ ↗
← S 49.887557°
W 20.137940°		 ← 787.09 m → S 49.887557°
W 20.126953°		 →
↑
787.01 m
↓
↑
787.01 m
↓
S 49.894634°
W 20.137940°		 ← 786.97 m →
619 402 m²		 S 49.894634°
W 20.126953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444076538085938 y=0.660385131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444076538085938 × 215)
    floor (0.444076538085938 × 32768)
    floor (14551.5)     		tx = 14551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660385131835938 × 215)
    floor (0.660385131835938 × 32768)
    floor (21639.5)     		ty = 21639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14551 / 21639 ti = "15/14551/21639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14551/21639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14551 ÷ 215
    14551 ÷ 32768     		x = 0.444061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21639 ÷ 215
    21639 ÷ 32768     		y = 0.660369873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444061279296875 × 2 - 1) × π
    -0.11187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35147335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660369873046875 × 2 - 1) × π
    -0.32073974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00763363001358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35147335} λ = -0.35147335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00763363001358))-π/2
    2×atan(0.365081876997887)-π/2
    2×0.350047104740599-π/2
    0.700094209481197-1.57079632675     		φ = -0.87070212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35147335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.137940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87070212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.887557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14551 KachelY 21639 -0.35147335 -0.87070212 -20.137940 -49.887557
    Oben rechts KachelX + 1 14552 KachelY 21639 -0.35128160 -0.87070212 -20.126953 -49.887557
    Unten links KachelX 14551 KachelY + 1 21640 -0.35147335 -0.87082565 -20.137940 -49.894634
    Unten rechts KachelX + 1 14552 KachelY + 1 21640 -0.35128160 -0.87082565 -20.126953 -49.894634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87070212--0.87082565) × R
    0.000123529999999983 × 6371000     		dl = 787.009629999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87070212--0.87082565) × R
    0.000123529999999983 × 6371000     		dr = 787.009629999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35147335--0.35128160) × cos(-0.87070212) × R
    0.000191749999999991 × 0.64428973770996 × 6371000     		do = 787.089631958654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35147335--0.35128160) × cos(-0.87082565) × R
    0.000191749999999991 × 0.644195259336399 × 6371000     		du = 786.974213469236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87070212)-sin(-0.87082565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64428973770996-0.644195259336399)×R²
    abs(-0.35128160--0.35147335)×9.44783735605803e-05×R²
    0.000191749999999991×9.44783735605803e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.44783735605803e-05×40589641000000     		ar = 619401.703080454m²