Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14551 / 21574
↖ ↑ ↗
← S 49.425267°
W 20.137940°		 ← 794.60 m → S 49.425267°
W 20.126953°		 →
↑
794.53 m
↓
↑
794.53 m
↓
S 49.432413°
W 20.137940°		 ← 794.49 m →
631 287 m²		 S 49.432413°
W 20.126953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444076538085938 y=0.658401489257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444076538085938 × 215)
    floor (0.444076538085938 × 32768)
    floor (14551.5)     		tx = 14551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658401489257812 × 215)
    floor (0.658401489257812 × 32768)
    floor (21574.5)     		ty = 21574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14551 / 21574 ti = "15/14551/21574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14551/21574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14551 ÷ 215
    14551 ÷ 32768     		x = 0.444061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21574 ÷ 215
    21574 ÷ 32768     		y = 0.65838623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444061279296875 × 2 - 1) × π
    -0.11187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35147335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65838623046875 × 2 - 1) × π
    -0.3167724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.995170036112366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35147335} λ = -0.35147335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995170036112366))-π/2
    2×atan(0.369660583551369)-π/2
    2×0.35408134058948-π/2
    0.708162681178959-1.57079632675     		φ = -0.86263365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35147335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.137940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86263365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.425267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14551 KachelY 21574 -0.35147335 -0.86263365 -20.137940 -49.425267
    Oben rechts KachelX + 1 14552 KachelY 21574 -0.35128160 -0.86263365 -20.126953 -49.425267
    Unten links KachelX 14551 KachelY + 1 21575 -0.35147335 -0.86275836 -20.137940 -49.432413
    Unten rechts KachelX + 1 14552 KachelY + 1 21575 -0.35128160 -0.86275836 -20.126953 -49.432413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86263365--0.86275836) × R
    0.000124709999999917 × 6371000     		dl = 794.52740999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86263365--0.86275836) × R
    0.000124709999999917 × 6371000     		dr = 794.52740999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35147335--0.35128160) × cos(-0.86263365) × R
    0.000191749999999991 × 0.650439315717097 × 6371000     		do = 794.602197823108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35147335--0.35128160) × cos(-0.86275836) × R
    0.000191749999999991 × 0.650344586153146 × 6371000     		du = 794.48647246965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86263365)-sin(-0.86275836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650439315717097-0.650344586153146)×R²
    abs(-0.35128160--0.35147335)×9.47295639512902e-05×R²
    0.000191749999999991×9.47295639512902e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.47295639512902e-05×40589641000000     		ar = 631287.253552082m²