Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14550 / 9627
↖ ↑ ↗
← N 59.383584°
W 20.148926°		 ← 622.17 m → N 59.383584°
W 20.137940°		 →
↑
622.26 m
↓
↑
622.26 m
↓
N 59.377988°
W 20.148926°		 ← 622.27 m →
387 178 m²		 N 59.377988°
W 20.137940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444046020507812 y=0.293807983398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444046020507812 × 215)
    floor (0.444046020507812 × 32768)
    floor (14550.5)     		tx = 14550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293807983398438 × 215)
    floor (0.293807983398438 × 32768)
    floor (9627.5)     		ty = 9627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14550 / 9627 ti = "15/14550/9627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14550/9627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14550 ÷ 215
    14550 ÷ 32768     		x = 0.44403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9627 ÷ 215
    9627 ÷ 32768     		y = 0.293792724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.1119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35166510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293792724609375 × 2 - 1) × π
    0.41241455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29563852293088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35166510} λ = -0.35166510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29563852293088))-π/2
    2×atan(3.65332796322632)-π/2
    2×1.30361769180876-π/2
    2.60723538361751-1.57079632675     		φ = 1.03643906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35166510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.148926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03643906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.383584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14550 KachelY 9627 -0.35166510 1.03643906 -20.148926 59.383584
    Oben rechts KachelX + 1 14551 KachelY 9627 -0.35147335 1.03643906 -20.137940 59.383584
    Unten links KachelX 14550 KachelY + 1 9628 -0.35166510 1.03634139 -20.148926 59.377988
    Unten rechts KachelX + 1 14551 KachelY + 1 9628 -0.35147335 1.03634139 -20.137940 59.377988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03643906-1.03634139) × R
    9.76699999999386e-05 × 6371000     		dl = 622.255569999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03643906-1.03634139) × R
    9.76699999999386e-05 × 6371000     		dr = 622.255569999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35166510--0.35147335) × cos(1.03643906) × R
    0.000191749999999991 × 0.509288010944236 × 6371000     		do = 622.166223723877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35166510--0.35147335) × cos(1.03634139) × R
    0.000191749999999991 × 0.509372062940262 × 6371000     		du = 622.268904941264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03643906)-sin(1.03634139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509288010944236-0.509372062940262)×R²
    abs(-0.35147335--0.35166510)×8.40519960265684e-05×R²
    0.000191749999999991×8.40519960265684e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.40519960265684e-05×40589641000000     		ar = 387178.345465054m²