Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14550 / 7326
↖ ↑ ↗
← N 70.028093°
W 20.148926°		 ← 417.26 m → N 70.028093°
W 20.137940°		 →
↑
417.30 m
↓
↑
417.30 m
↓
N 70.024341°
W 20.148926°		 ← 417.34 m →
174 139 m²		 N 70.024341°
W 20.137940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444046020507812 y=0.223587036132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444046020507812 × 215)
    floor (0.444046020507812 × 32768)
    floor (14550.5)     		tx = 14550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223587036132812 × 215)
    floor (0.223587036132812 × 32768)
    floor (7326.5)     		ty = 7326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14550 / 7326 ti = "15/14550/7326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14550/7326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14550 ÷ 215
    14550 ÷ 32768     		x = 0.44403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7326 ÷ 215
    7326 ÷ 32768     		y = 0.22357177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.1119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35166510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22357177734375 × 2 - 1) × π
    0.5528564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73684974703387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35166510} λ = -0.35166510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73684974703387))-π/2
    2×atan(5.67942359047778)-π/2
    2×1.39650856467527-π/2
    2.79301712935054-1.57079632675     		φ = 1.22222080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35166510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.148926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22222080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.028093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14550 KachelY 7326 -0.35166510 1.22222080 -20.148926 70.028093
    Oben rechts KachelX + 1 14551 KachelY 7326 -0.35147335 1.22222080 -20.137940 70.028093
    Unten links KachelX 14550 KachelY + 1 7327 -0.35166510 1.22215530 -20.148926 70.024341
    Unten rechts KachelX + 1 14551 KachelY + 1 7327 -0.35147335 1.22215530 -20.137940 70.024341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22222080-1.22215530) × R
    6.55000000000516e-05 × 6371000     		dl = 417.300500000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22222080-1.22215530) × R
    6.55000000000516e-05 × 6371000     		dr = 417.300500000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35166510--0.35147335) × cos(1.22222080) × R
    0.000191749999999991 × 0.341559348757916 × 6371000     		do = 417.262306647088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35166510--0.35147335) × cos(1.22215530) × R
    0.000191749999999991 × 0.341620908868832 × 6371000     		du = 417.337510894818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22222080)-sin(1.22215530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341559348757916-0.341620908868832)×R²
    abs(-0.35147335--0.35166510)×6.15601109167363e-05×R²
    0.000191749999999991×6.15601109167363e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.15601109167363e-05×40589641000000     		ar = 174139.460642553m²