Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14550 / 21607
↖ ↑ ↗
← S 49.660517°
W 20.148926°		 ← 790.79 m → S 49.660517°
W 20.137940°		 →
↑
790.70 m
↓
↑
790.70 m
↓
S 49.667628°
W 20.148926°		 ← 790.67 m →
625 232 m²		 S 49.667628°
W 20.137940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444046020507812 y=0.659408569335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444046020507812 × 215)
    floor (0.444046020507812 × 32768)
    floor (14550.5)     		tx = 14550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659408569335938 × 215)
    floor (0.659408569335938 × 32768)
    floor (21607.5)     		ty = 21607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14550 / 21607 ti = "15/14550/21607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14550/21607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14550 ÷ 215
    14550 ÷ 32768     		x = 0.44403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21607 ÷ 215
    21607 ÷ 32768     		y = 0.659393310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.1119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35166510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659393310546875 × 2 - 1) × π
    -0.31878662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00149770686221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35166510} λ = -0.35166510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00149770686221))-π/2
    2×atan(0.367328878001966)-π/2
    2×0.352028400858254-π/2
    0.704056801716508-1.57079632675     		φ = -0.86673953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35166510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.148926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86673953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.660517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14550 KachelY 21607 -0.35166510 -0.86673953 -20.148926 -49.660517
    Oben rechts KachelX + 1 14551 KachelY 21607 -0.35147335 -0.86673953 -20.137940 -49.660517
    Unten links KachelX 14550 KachelY + 1 21608 -0.35166510 -0.86686364 -20.148926 -49.667628
    Unten rechts KachelX + 1 14551 KachelY + 1 21608 -0.35147335 -0.86686364 -20.137940 -49.667628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86673953--0.86686364) × R
    0.000124110000000011 × 6371000     		dl = 790.704810000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86673953--0.86686364) × R
    0.000124110000000011 × 6371000     		dr = 790.704810000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35166510--0.35147335) × cos(-0.86673953) × R
    0.000191749999999991 × 0.647315186929566 × 6371000     		do = 790.785639474206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35166510--0.35147335) × cos(-0.86686364) × R
    0.000191749999999991 × 0.647220582517329 × 6371000     		du = 790.670067010993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86673953)-sin(-0.86686364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647315186929566-0.647220582517329)×R²
    abs(-0.35147335--0.35166510)×9.4604412237409e-05×R²
    0.000191749999999991×9.4604412237409e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.4604412237409e-05×40589641000000     		ar = 625232.317762268m²