Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14550 / 21378
↖ ↑ ↗
← S 48.004625°
W 20.148926°		 ← 817.36 m → S 48.004625°
W 20.137940°		 →
↑
817.34 m
↓
↑
817.34 m
↓
S 48.011975°
W 20.148926°		 ← 817.25 m →
668 012 m²		 S 48.011975°
W 20.137940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444046020507812 y=0.652420043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444046020507812 × 215)
    floor (0.444046020507812 × 32768)
    floor (14550.5)     		tx = 14550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652420043945312 × 215)
    floor (0.652420043945312 × 32768)
    floor (21378.5)     		ty = 21378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14550 / 21378 ti = "15/14550/21378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14550/21378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14550 ÷ 215
    14550 ÷ 32768     		x = 0.44403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21378 ÷ 215
    21378 ÷ 32768     		y = 0.65240478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.1119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35166510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65240478515625 × 2 - 1) × π
    -0.3048095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.957587506810242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35166510} λ = -0.35166510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957587506810242))-π/2
    2×atan(0.383817727593429)-π/2
    2×0.366478782004585-π/2
    0.73295756400917-1.57079632675     		φ = -0.83783876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35166510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.148926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83783876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.004625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14550 KachelY 21378 -0.35166510 -0.83783876 -20.148926 -48.004625
    Oben rechts KachelX + 1 14551 KachelY 21378 -0.35147335 -0.83783876 -20.137940 -48.004625
    Unten links KachelX 14550 KachelY + 1 21379 -0.35166510 -0.83796705 -20.148926 -48.011975
    Unten rechts KachelX + 1 14551 KachelY + 1 21379 -0.35147335 -0.83796705 -20.137940 -48.011975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83783876--0.83796705) × R
    0.000128290000000031 × 6371000     		dl = 817.335590000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83783876--0.83796705) × R
    0.000128290000000031 × 6371000     		dr = 817.335590000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35166510--0.35147335) × cos(-0.83783876) × R
    0.000191749999999991 × 0.669070618240126 × 6371000     		do = 817.362928263863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35166510--0.35147335) × cos(-0.83796705) × R
    0.000191749999999991 × 0.668975267756001 × 6371000     		du = 817.24644436995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83783876)-sin(-0.83796705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669070618240126-0.668975267756001)×R²
    abs(-0.35147335--0.35166510)×9.53504841247899e-05×R²
    0.000191749999999991×9.53504841247899e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.53504841247899e-05×40589641000000     		ar = 668012.208917081m²