Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14549 / 21430
↖ ↑ ↗
← S 48.385442°
W 20.159912°		 ← 811.27 m → S 48.385442°
W 20.148926°		 →
↑
811.22 m
↓
↑
811.22 m
↓
S 48.392738°
W 20.159912°		 ← 811.15 m →
658 069 m²		 S 48.392738°
W 20.148926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444015502929688 y=0.654006958007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444015502929688 × 215)
    floor (0.444015502929688 × 32768)
    floor (14549.5)     		tx = 14549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654006958007812 × 215)
    floor (0.654006958007812 × 32768)
    floor (21430.5)     		ty = 21430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14549 / 21430 ti = "15/14549/21430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14549/21430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14549 ÷ 215
    14549 ÷ 32768     		x = 0.444000244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21430 ÷ 215
    21430 ÷ 32768     		y = 0.65399169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444000244140625 × 2 - 1) × π
    -0.11199951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35185684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65399169921875 × 2 - 1) × π
    -0.3079833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.967558381931213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35185684} λ = -0.35185684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967558381931213))-π/2
    2×atan(0.380009744970538)-π/2
    2×0.363155525272116-π/2
    0.726311050544231-1.57079632675     		φ = -0.84448528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35185684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.159912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84448528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.385442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14549 KachelY 21430 -0.35185684 -0.84448528 -20.159912 -48.385442
    Oben rechts KachelX + 1 14550 KachelY 21430 -0.35166510 -0.84448528 -20.148926 -48.385442
    Unten links KachelX 14549 KachelY + 1 21431 -0.35185684 -0.84461261 -20.159912 -48.392738
    Unten rechts KachelX + 1 14550 KachelY + 1 21431 -0.35166510 -0.84461261 -20.148926 -48.392738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84448528--0.84461261) × R
    0.000127329999999981 × 6371000     		dl = 811.219429999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84448528--0.84461261) × R
    0.000127329999999981 × 6371000     		dr = 811.219429999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35185684--0.35166510) × cos(-0.84448528) × R
    0.000191739999999996 × 0.664116190237372 × 6371000     		do = 811.268093711942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35185684--0.35166510) × cos(-0.84461261) × R
    0.000191739999999996 × 0.664020989205378 × 6371000     		du = 811.151798459876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84448528)-sin(-0.84461261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664116190237372-0.664020989205378)×R²
    abs(-0.35166510--0.35185684)×9.52010319940078e-05×R²
    0.000191739999999996×9.52010319940078e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.52010319940078e-05×40589641000000     		ar = 658069.2709629m²