Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14549 / 21373
↖ ↑ ↗
← S 47.967859°
W 20.159912°		 ← 817.90 m → S 47.967859°
W 20.148926°		 →
↑
817.91 m
↓
↑
817.91 m
↓
S 47.975214°
W 20.159912°		 ← 817.79 m →
668 922 m²		 S 47.975214°
W 20.148926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444015502929688 y=0.652267456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444015502929688 × 215)
    floor (0.444015502929688 × 32768)
    floor (14549.5)     		tx = 14549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652267456054688 × 215)
    floor (0.652267456054688 × 32768)
    floor (21373.5)     		ty = 21373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14549 / 21373 ti = "15/14549/21373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14549/21373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14549 ÷ 215
    14549 ÷ 32768     		x = 0.444000244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21373 ÷ 215
    21373 ÷ 32768     		y = 0.652252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444000244140625 × 2 - 1) × π
    -0.11199951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35185684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.30450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.956628768817841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35185684} λ = -0.35185684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.956628768817841))-π/2
    2×atan(0.384185884685926)-π/2
    2×0.366799627985332-π/2
    0.733599255970664-1.57079632675     		φ = -0.83719707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35185684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.159912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83719707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.967859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14549 KachelY 21373 -0.35185684 -0.83719707 -20.159912 -47.967859
    Oben rechts KachelX + 1 14550 KachelY 21373 -0.35166510 -0.83719707 -20.148926 -47.967859
    Unten links KachelX 14549 KachelY + 1 21374 -0.35185684 -0.83732545 -20.159912 -47.975214
    Unten rechts KachelX + 1 14550 KachelY + 1 21374 -0.35166510 -0.83732545 -20.148926 -47.975214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83719707--0.83732545) × R
    0.000128380000000039 × 6371000     		dl = 817.908980000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83719707--0.83732545) × R
    0.000128380000000039 × 6371000     		dr = 817.908980000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35185684--0.35166510) × cos(-0.83719707) × R
    0.000191739999999996 × 0.669547383717316 × 6371000     		do = 817.902706820049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35185684--0.35166510) × cos(-0.83732545) × R
    0.000191739999999996 × 0.669452021471425 × 6371000     		du = 817.78621463303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83719707)-sin(-0.83732545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669547383717316-0.669452021471425)×R²
    abs(-0.35166510--0.35185684)×9.53622458902403e-05×R²
    0.000191739999999996×9.53622458902403e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.53622458902403e-05×40589641000000     		ar = 668922.3295905m²