Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14548 / 9042
↖ ↑ ↗
← N 62.502175°
W 20.170898°		 ← 564.05 m → N 62.502175°
W 20.159912°		 →
↑
564.09 m
↓
↑
564.09 m
↓
N 62.497102°
W 20.170898°		 ← 564.15 m →
318 201 m²		 N 62.497102°
W 20.159912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443984985351562 y=0.275955200195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443984985351562 × 215)
    floor (0.443984985351562 × 32768)
    floor (14548.5)     		tx = 14548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275955200195312 × 215)
    floor (0.275955200195312 × 32768)
    floor (9042.5)     		ty = 9042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14548 / 9042 ti = "15/14548/9042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14548/9042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14548 ÷ 215
    14548 ÷ 32768     		x = 0.4439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9042 ÷ 215
    9042 ÷ 32768     		y = 0.27593994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35204859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27593994140625 × 2 - 1) × π
    0.4481201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40781086804181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35204859} λ = -0.35204859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40781086804181))-π/2
    2×atan(4.0869986245599)-π/2
    2×1.33083253125178-π/2
    2.66166506250355-1.57079632675     		φ = 1.09086874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35204859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09086874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.502175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14548 KachelY 9042 -0.35204859 1.09086874 -20.170898 62.502175
    Oben rechts KachelX + 1 14549 KachelY 9042 -0.35185684 1.09086874 -20.159912 62.502175
    Unten links KachelX 14548 KachelY + 1 9043 -0.35204859 1.09078020 -20.170898 62.497102
    Unten rechts KachelX + 1 14549 KachelY + 1 9043 -0.35185684 1.09078020 -20.159912 62.497102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09086874-1.09078020) × R
    8.85399999999148e-05 × 6371000     		dl = 564.088339999457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09086874-1.09078020) × R
    8.85399999999148e-05 × 6371000     		dr = 564.088339999457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35204859--0.35185684) × cos(1.09086874) × R
    0.000191749999999991 × 0.461714944185561 × 6371000     		do = 564.049098128613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35204859--0.35185684) × cos(1.09078020) × R
    0.000191749999999991 × 0.461793479866628 × 6371000     		du = 564.14504039913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09086874)-sin(1.09078020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461714944185561-0.461793479866628)×R²
    abs(-0.35185684--0.35204859)×7.85356810671378e-05×R²
    0.000191749999999991×7.85356810671378e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.85356810671378e-05×40589641000000     		ar = 318200.579607071m²