Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14548 / 21652
↖ ↑ ↗
← S 49.979488°
W 20.170898°		 ← 785.59 m → S 49.979488°
W 20.159912°		 →
↑
785.54 m
↓
↑
785.54 m
↓
S 49.986552°
W 20.170898°		 ← 785.47 m →
617 070 m²		 S 49.986552°
W 20.159912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443984985351562 y=0.660781860351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443984985351562 × 215)
    floor (0.443984985351562 × 32768)
    floor (14548.5)     		tx = 14548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660781860351562 × 215)
    floor (0.660781860351562 × 32768)
    floor (21652.5)     		ty = 21652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14548 / 21652 ti = "15/14548/21652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14548/21652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14548 ÷ 215
    14548 ÷ 32768     		x = 0.4439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21652 ÷ 215
    21652 ÷ 32768     		y = 0.6607666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35204859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6607666015625 × 2 - 1) × π
    -0.321533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01012634879382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35204859} λ = -0.35204859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01012634879382))-π/2
    2×atan(0.364172963849844)-π/2
    2×0.349244853461147-π/2
    0.698489706922295-1.57079632675     		φ = -0.87230662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35204859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87230662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.979488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14548 KachelY 21652 -0.35204859 -0.87230662 -20.170898 -49.979488
    Oben rechts KachelX + 1 14549 KachelY 21652 -0.35185684 -0.87230662 -20.159912 -49.979488
    Unten links KachelX 14548 KachelY + 1 21653 -0.35204859 -0.87242992 -20.170898 -49.986552
    Unten rechts KachelX + 1 14549 KachelY + 1 21653 -0.35185684 -0.87242992 -20.159912 -49.986552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87230662--0.87242992) × R
    0.000123299999999937 × 6371000     		dl = 785.544299999601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87230662--0.87242992) × R
    0.000123299999999937 × 6371000     		dr = 785.544299999601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35204859--0.35185684) × cos(-0.87230662) × R
    0.000191749999999991 × 0.643061816992917 × 6371000     		do = 785.589555814826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35204859--0.35185684) × cos(-0.87242992) × R
    0.000191749999999991 × 0.642967387205193 × 6371000     		du = 785.474196679773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87230662)-sin(-0.87242992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643061816992917-0.642967387205193)×R²
    abs(-0.35185684--0.35204859)×9.44297877236711e-05×R²
    0.000191749999999991×9.44297877236711e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.44297877236711e-05×40589641000000     		ar = 617070.088635867m²